Problem n ciał - Polski Serwis Naukowy

Problem n ciał / problem wielu ciał – zagadnienie mechaniki klasycznej polegające na wyznaczeniu toru ruchów wszystkich ciał danego układu n ciał o danych masach, prędkościach i położeniach początkowych w oparciu o prawa ruchu i założenie, że ciała oddziałują ze sobą zgodnie z prawem grawitacji Newtona.

Grawitacja (ciążenie powszechne) - jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.

Księżyc (, nieco więcej niż 1/4 średnicy Ziemi. Oznacza to, że objętość Księżyca wynosi około 1/50 objętości kuli ziemskiej. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni jest blisko 6 razy słabsze, niż na Ziemi. Księżyc wykonuje pełny obieg wokół Ziemi w ciągu 27,3 dnia (tzw. miesiąc syderyczny), a okresowe zmiany w geometrii układu Ziemia-Księżyc-Słońce powodują występowanie powtarzających się w cyklu 29,5-dniowym (tzw. miesiąc synodyczny) faz Księżyca.

Model matematyczny

Z matematycznego punktu widzenia problem n ciał sprowadza się do rozwiązania pewnego układu równań różniczkowych zwyczajnych.

Dla i-tego ciała o masie mi, niech ci(t) oznacza jego trajektorię w przestrzeni trójwymiarowej w zależności od czasu t. Przyspieszenie c''(t) ciała o masie mi wyznaczone jest z prawa powszechnego ciążenia i wynosi: $c_{i}''(t) = \gamma \sum_{1 \le j \le n, i \ne j} m_j \frac{c_j(t) - c_i(t)}{\|c_j(t) - c_i(t)\|^3}.$

Stąd, siła działająca na i-te ciało jest równa

Ognisko – płonący stos, najczęściej z drewna lub innej substancji łatwopalnej. Dawniej używane do ogrzewania i gotowania, obecnie pełni rolę miejsca spotkań towarzyskich, służy także do spalania odpadów roślinnych na działkach i przydomowych ogródkach, np. gałęzi, liści.

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.

$F_i = c_{i}''(t) m_i.\,$

Rozwiązania otrzymanego układu równań różniczkowych są szukanymi trajektoriami ciał.

Problem dwóch ciał

Ruch układu składającego się z dwóch ciał wygodnie jest rozpatrywać w układzie odniesienia, w którym środek masy układu jest w spoczynku. W tym układzie każde z nich porusza się po trajektorii, która jest krzywą stożkową, a środek masy znajduje się w jednym z jej ognisk.

Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych [1], wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero[2]. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].

Jules Henri Poincaré (ur. 29 kwietnia 1854 w Cité Ducale niedaleko Nancy, Francja, zm. 17 lipca 1912 w Paryżu) (IPA: [pwɛ̃kaˈʀe]) – francuski matematyk, fizyk, astronom i filozof nauki.

Jeśli krzywe, po których poruszają się ciała są zamknięte, to są one elipsami. Energia potencjalna układu ciał (która jest ujemna), przewyższa co do wartości bezwzględnej sumaryczną energię kinetyczną układu, a całkowita energia układu jest ujemna (pomijamy tutaj energię kinetyczną obrotu ciał wokół swych osi).

Prawa zachowania – prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zasady zachowania obowiązujące bezwzględnie, jak i zasady zachowania słuszne tylko dla niektórych procesów.

Elipsa (z gr. ἔλλειψις elleipsis – „brak, opuszczenie”) – w geometrii ograniczony przypadek krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Jeżeli orbity są otwarte, ruch ciał odbywa się po hiperboli lub paraboli.

W przypadku ruchu po hiperboli, wartość bezwzględna energii potencjalnej jest mniejsza niż całkowita energia kinetyczna układu i całkowita energia układu jest dodatnia.

W przypadku paraboli całkowita energia układu wynosi zero. Prędkości ciał maleją do zera wraz ze wzrostem odległości między nimi.

Problem dwóch ciał odegrał doniosłą rolę w historii fizyki. W początkowym okresie jej rozwoju stanowił doskonały przykład skuteczności metod nowej nauki, a przez całą pierwszą połowę XX wieku był jednym z trzech eksperymentów potwierdzających słuszność przewidywań ogólnej teorii względności.

Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii.

Joseph Louis Lagrange (wł. Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia, ur. 25 stycznia 1736 r. w Turynie, zm. 10 kwietnia 1813 r. w Paryżu) – matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, ale pracujący we Francji i przez dwadzieścia lat w Berlinie dla króla pruskiego Fryderyka II.

Problem trzech ciał

Ruch trzech oddziałujących grawitacyjnie ciał może być chaotyczny

Problem ruchu trzech (i tym bardziej większej liczby) ciał jest zagadnieniem znacznie trudniejszym i w ogólności nie daje się rozwiązać przez znalezienie całek pierwszych układu. Z 18 potrzebnych do jego rozwiązania całek, jedynie 10 daje się wyznaczyć na mocy praw zachowania, a pozostałych 8 całek jest od nich algebraicznie zależnych. Zagadnienia te były szczegółowo badane pod koniec XIX wieku przez Poincarégo, a uzyskane przez niego wyniki położyły podwaliny pod deterministyczną teorię chaosu. Nie oznacza to, że ogólne zagadnienie trzech ciał nie ma rozwiązania, a jedynie, że zawodzi pewien rodzaj metod jego poszukiwania.

Ziemia (łac. Terra) − trzecia licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu.

Punkt równowagi - w mechanice oraz robotyce stan układu nieliniowego, przy którym pozostaje on w bezruchu (tj. prędkość zmian stanu wynosi 0). Jako przykład podać można wahadło, które ma dwa punkty równowagi, poniżej oraz powyżej punktu zaczepienia wahadła.

Ze względów praktycznych ważne są szczególne przypadki problemu trzech ciał, w których zakłada się na przykład, że masa jednego z ciał jest zaniedbywalnie mała. Zagadnienie to – tak zwany ograniczony problem trzech ciał – było po raz pierwszy postawione i częściowo rozwiązane przez Lagrange'a w drugiej połowie XVIII wieku. Badał on układ Słońce-Ziemia-Księżyc, w którym na dodatek można przyjąć, że jedno z masywnych ciał krąży wokół trzeciego po orbicie kołowej. Ta i inna problematyka omówiona jest szerzej w artykułach sfera Hilla (układ gwiazda, planeta i jej satelita), powierzchnia Roche'a (układ podwójny) i punkt Lagrange'a.

Słońce (łac. Sol) – gwiazda centralna Układu Słonecznego, wokół której krąży Ziemia, inne planety oraz mniejsze ciała niebieskie. Słońce to najjaśniejszy obiekt na niebie i główne źródło energii docierającej do Ziemi.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.

Stabilne (L4, L5) i niestabilne (L1, L2, L3) punkty Lagrange'a w układzie typu Słońce-Ziemia-Księżyc

Okazuje się, że rozważanej przez Lagrange'a sytuacji występuje pięć punktów równowagi. Trzy z nich są współliniowe z układem dwóch dużych mas i są niestabilne (tj. już niewielkie zaburzenie powoduje rozpad układu). Dwa pozostałe znajdują się w wierzchołkach trójkątów równobocznych opartych na odcinku łączącym dwa masywne ciała i są stabilne. Dobrą ilustracją jest tu układ Słońce-Jowisz-trzecie ciało, w którym w okolicach punktów Lagrange'a L4 i L5 występują dwie grupy planetoid – tak zwani Grecy i Trojanie.

Tor ruchu (trajektoria) w kinematyce - krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.

Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

Twierdzenie Sundmana

W roku 1912 szwedzki matematyk fińskiego pochodzenia, Karl Fritiof Sundman udowodnił, że przy pewnych warunkach początkowych istnieje ogólne rozwiązanie problemu trzech ciał. Wspomniane warunki to analityczność funkcji położenia od współrzędnych (czasowej i przestrzennych) oraz wymóg, by nie doszło do kolizji trzech ciał. Rozwiązanie jest również funkcją analityczną współrzędnych.

Masa – jedna z podstawowych . W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

Fizyka (z gr. φύσις physis - "natura") – nauka o przyrodzie w najszerszym znaczeniu tego słowa. Fizycy badają właściwości i przemiany materii i energii oraz oddziaływanie między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.

W latach 90. XX wieku wynik ten został uogólniony na problem n-ciał, przy dodatkowym założeniu, że nie dojdzie do kolizji pomiędzy żadną parą ciał.

Linki zewnętrzne

Więcej na temat problemu trzech ciał (ang.)

Regular Keplerian motions in classical many-body systems

Demonstracja ruchów w układzie trzech ciał (aplet)