Prosta - Polski Serwis Naukowy

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest w artykule dotyczącym geometrii euklidesowej.

Rzut równoległy na płaszczyznę – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej, równoległej do kierunku rzutowania, przechodzącej przez dany punkt, z płaszczyzną.
Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.

W matematyce rozważane są także inne geometrie, takie jak geometria powierzchni kuli. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw. geometrie nieeuklidesowe. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne, czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami. Według najogólniejszej definicji zatem:

Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) - jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy lokalną osią pionu a płaszczyzną równika. Wartości szerokości geograficznej rozciągają się między 0° na równiku i 90° na biegunach. Szerokość geograficzna może być północna (N; zobacz: półkula północna) lub południowa (S; zobacz: półkula południowa).
Szczególna teoria względności (tu STW) – teoria fizyczna, stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona podstawy pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej, tak aby można było usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.

Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej krzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie)

W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.

Geometria euklidesowa

Prosta, półprosta i odcinek. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.

Geometria eliptyczna, zwana także geometrią sferyczną lub geometrią powierzchni kuli, jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny. Jest jedną z geometrii nieeuklidesowych.
Linia świata – w fizyce, zbiór punktów, z których każdy reprezentuje tzw. zdarzenie czasoprzestrzenne, określający kolejne położenia obiektu na diagramie czasoprzestrzennym Minkowskiego w wybranych składowych czasoprzestrzeni.

Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.

Definicja Euklidesa

Zapoznaj się również z: Elementy i geometria euklidesowa.

Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.

Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.
Aksjomat Archimedesa to aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.

linia jest długością bez szerokości

linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku

Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe. Zgodnie z rys. 1 prosta AB jest prostopadła do CD w punkcie B.

„Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”.

Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z nieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).

Półprosta to jednowymiarowa figura geometryczna powstała przez przecięcie prostej w dowolnie wybranym punkcie, nazywanym początkiem półprostej. Punkt ten, oraz wszystkie punkty prostej leżące po jednej jego stronie tworzą półprostą.
Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samej przestrzeni trójwymiarowej.

Własności

Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.

Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie.

Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.

Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych.

Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich.

Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi.

Najkrótsza droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.

Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek).

Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.

Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie.

Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej.

Niektóre ważne proste

asymptota – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji)

oś liczbowa – prosta z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych

oś obrotu – prosta, wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły

oś symetrii – prosta, względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

prosta Eulera

prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów

prosta Simsona

sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach

styczna – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt

normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej

symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego

środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku

prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok

Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)

Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Jeśli dany jest punkt $B\;$ i niezerowy wektor $\overrightarrow\alpha\;$ , to prostą generowaną przez wektor $\overrightarrow\alpha\;$ i przechodzącą przez punkt $B\;$ nazywamy zbiór punktów $P\;$ dla których istnieje liczba rzeczywista $t\;$ taka, że $\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow\alpha$ .

Wektor $\overrightarrow\alpha\;$ nazywamy wektorem kierunkowym prostej.

Najmniejszą podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty $P,Q\;$ jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy $\mbox{af}(P,Q)\;$ .

Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.

Grawitacja (ciążenie powszechne) - jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Równanie ogólne

W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób: Dla pewnych liczb rzeczywistych $A, B, C\;$ , przy czym $A\;$ i $B\;$ nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: $Ax + By + C = 0\;$ .

Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych $[-B,A]\;$ jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor $[A,B]\;$ jest prostopadły do prostej. Jeśli $A = 0\;$ , to prosta jest równoległa do osi $Ox\;$ , jeśli $B = 0\;$ – do osi $Oy\;$ , jeśli $C=0\;$ , przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Foton (gr. φως – światło, w dopełniaczu – φοτος) jest cząstką elementarną nie posiadającą ładunku elektrycznego ani momentu magnetycznego, o masie spoczynkowej równej zero (m0 = 0), liczbie spinowej s = 1 (fotony są zatem bozonami). Fotony są nośnikami oddziaływań elektromagnetycznych, a ponieważ wykazują dualizm korpuskularno-falowy są równocześnie falą elektromagnetyczną.
Masa spoczynkowa (in. masa niezmiennicza lub po prostu masa) - wielkość fizyczna w fizyce relatywistycznej, charakteryzująca ciało bądź układ ciał, która nie zależy od układu odniesienia. W dowolnym układzie odniesienia, masa spoczynkowa jest wyznaczona przez energie i pędy wszystkich ciał.

Współczynniki $A\;$ i $B\;$ nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla $C = 0\;$ całą płaszczyznę, a dla $C \neq 0\;$ zbiór pusty (nie ma rozwiązań).

Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.
Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn.

Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)

Równanie normalne

Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki $A\;$ , $B\;$ i $C\;$ przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej:

Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

$\begin{cases} A' = A\mu \\ B' = B\mu \\ C' = C\mu \end{cases}$ ,

gdzie $\mu\;$ to tzw. czynnik normujący: $\mu=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}$ dla $C<0\;$

lub $\mu=\frac{-1}{\sqrt{A^2+B^2}}$ dla $C>0\;$ .

Dla $C=0\;$ można przyjąć dowolny znak.

Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem $\alpha\;$ do osi $Oy\;$ i odległej o $p\;$ od środka układu współrzędnych: $x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0\;$ ,

przy czym $0\le \alpha < 2\pi\;$ .

Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem $A\;$ i $B\;$ ( $C\;$ jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.

Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.
Ortodroma (st.gr. ὀρθόs, orthos = prosty, prawidłowy; δρόμος, dromos = droga, przebieg) to najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami na powierzchni kuli biegnąca po jej powierzchni. Stanowi ona zawsze fragment koła wielkiego. Linię ortodromy otrzymuje się przez przecięcie kuli płaszczyzną przechodzącą przez punkty A,B na powierzchni tej kuli oraz przez środek kuli.

Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny

Równanie w postaci kierunkowej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej:

Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe.
Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

$y = ax + b\;$ ,

gdzie $a\;$ i $b\;$ to liczby rzeczywiste.

$a\;$ , tzw. współczynnik kierunkowy, jest równy tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX) nazywanego kątem nachylenia prostej. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą $m\;$ . Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.

$b\;$ , tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.

Równanie parametryczne

Prosta $l\;$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym $\overrightarrow\alpha =[u_1,u_2]\;$ , przechodząca przez punkt $A=(x_A,y_A)\;$ to zbiór punktów $P=(x,y)\;$ , takich że

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:
Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

$P=A+t\overrightarrow\alpha\;$ dla dowolnych $t\in \mathbb{R}$ .

Innymi słowy: $l=\{A+t\overrightarrow\alpha\colon t\in \mathbb{R}\}$ .

W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to: $l=A+\mbox{lin}(\overrightarrow\alpha)\;$ .

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

$\left\{\begin{matrix} x = x_A + tu_1 \\ y=y_A + tu_2 \end{matrix}\right.$

Przy tym $x_A\;$ i $y_A\;$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast $u_1\;$ i $u_2\;$ są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt $A\;$ , a nie całą prostą.

Cięciwa jest to element łuku, kuszy lub balisty służący do nadawania prędkości wystrzeliwanym pociskom. Cięciwa jest napinana ramionami łuku. Dawniej cięciwy wykonywano z włókien roślinnych, takich jak len, konopie czy jedwab oraz ze ścięgien, włosia końskiego lub jelit zwierzęcych, które do tego celu były suszone i wyprawiane.
G-przestrzeń – najogólniejsza przestrzeń w której można rozważać istnienie linii geodezyjnych (czyli prostych). Wprowadzona do matematyki przez Herberta Busemanna.

Równanie kanoniczne

Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą $l\;$ można opisać równaniem: $l\colon \frac{x-x_A}{u_1}=\frac{y-y_A}{u_2}$ .

W przypadku, gdy $u_1\;$ lub $u_2\;$ jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci: $(x-x_A)u_2=(y-y_A)u_1\;$ .

Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa różne punkty $(x_A,y_A)\;$ i $(x_B,y_B)\;$ , to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci: $(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0\;$

lub w wersji parametrycznej:

Hiperboloida dwupowłokowa - powierzchnia drugiego stopnia otrzymana w następujący sposób: daną hiperbolę H obraca się dookoła prostej L przechodzącej przez ogniska tej hiperboli, uzyskując powierzchnię obrotową nazywaną hiperboloidą dwupowłokową obrotową: obraz hiperboloidy dwupowłokowej obrotowej w powinowactwie płaszczyznowym prostokątnym f względem płaszczyzny P zawierającej hiperbolę H jest hiperboloidą dwupowłokową. Każda hiperboloida dwupowłokowa jest niespójna; rozpada się na sumę dwóch zbiorów punktów powstałych przez obrót odpowiednich gałęzi hiperboli. Zbiory te nazywają się powłokami hiperboloidy dwupowłokowej.
Przekształcenie rzutowe (również transformacja rzutowa) - w geometrii rzutowej jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń rzutową na siebie i zachowująca współliniowość punktów.

$\left\{\begin{matrix} x = x_A + t(x_B-x_A) \\ y=y_A + t(y_B-y_A) \end{matrix}\right.$

gdzie $t\;$ przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.

To samo równanie można przedstawić w postaci wyznacznika:

Parametry równania odcinkowego prostej

$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ x_A & y_A & 1\\ x_B & y_B & 1 \end{vmatrix}=0$

Równanie odcinkowe

Równanie prostej, przecinającej oś $Ox\;$ w punkcie $(a,0)\;$ , gdzie $a\neq 0\;$ i oś $Oy\;$ w punkcie $(0,b)\;$ , gdzie $b\neq 0\;$ : $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ .

Postać biegunowa równania

Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych $(\varphi, r)\;$ . Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać $r=\frac{p}{\cos(\varphi-\alpha)}$ ,

gdzie:

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Tor ruchu (trajektoria) w kinematyce - krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.

$p\;$ jest odległością prostej od bieguna,

$\alpha\;$ to kąt między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej prostej,

$r\;$ jest współrzędną punktu prostej – odległością od bieguna,

$\varphi\;$ jest współrzędną punktu prostej – kątem między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna do danego punktu.

Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać $\phi=\alpha+k\pi\;$ , gdzie:

Zasada dualności w geometrii rzutowej mówi, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej jest równoważne twierdzeniu które otrzymamy, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na"). Na przykład, gdy mamy twierdzenie mówiące o współliniowości kilku punktów, istnieje dualne do niego twierdzenie o współpękowości odpowiednich kilku prostych.
Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia elegancki opis szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę swą zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

$\alpha\;$ to kąt między osią biegunową a prostą,

$k\;$ jest dowolną liczbą całkowitą,

$r\;$ – odległość od bieguna – może być wówczas dowolna.

Odległość punktu od prostej

Osobny artykuł: Odległość punktu od prostej.

Odległość punktu $P = (x_P, y_P)\;$ od prostej danej równaniem ogólnym: $d=\frac{|Ax_P+By_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\;$ .

Odległość punktu $P\;$ od prostej danej równaniem normalnym:

Odcięta (łac. abscissa) - pierwsza współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem x, a jej oś symbolem OX.
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

$d=|x_P\cos\alpha+y_P\sin\alpha-p|\;$ .

Wyrażenie $x_P\cos\alpha+y_P\sin\alpha-p\;$ ma wartość dodatnią, gdy punkt $P\;$ oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie, i zero, jeśli $P\;$ leży na prostej.

Wzajemne położenie na płaszczyźnie

Dla prostych $k,l\;$ danych równaniami $k\colon A_1 x+B_1 y+ C_1=0,\; l\colon A_2 x+B_2 y+ C_2=0\;$

niech:

Klaudiusz Ptolemeusz, Ptolemeusz Klaudiusz lub po prostu Ptolemeusz (łac. Claudius Ptolemaeus, gr. Κλαύδιος Πτολεμαῖος Klaudios Ptolemaios; ur. ok. 100, zm. ok. 168) – grecki uczony pochodzący z Tebaidy, który kształcił się i działał w Aleksandrii. Napisał wiele dzieł z dziedziny matematyki, astronomii, geografii i muzyki.
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

$W_{AB}=\begin{vmatrix} A_1 & B_1\\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}=A_1 B_2-A_2 B_1$ , $W_{BC}=\begin{vmatrix} B_1 & C_1\\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}=B_1 C_2-B_2 C_1$ , $W_{CA}=\begin{vmatrix} C_1 & A_1\\ C_2 & A_2 \end{vmatrix}=C_1 A_2-C_2 A_1$ .

Jeśli $W_{AB}\ne 0\;$ , wówczas proste $k,l\;$ przecinają się w punkcie $\left( \frac {W_{BC}} {W_{AB}}, \frac {W_{CA}} {W_{AB}} \right)$ .

Jeśli $W_{AB}=0\;$ , ale $W_{BC}\ne 0\;$ to zachodzi także $W_{CA}\ne 0$ i proste $k,l\;$ są równoległe.

Jeśli $W_{AB}=W_{BC}=0\;$ , to również $W_{CA}=0\;$ i proste pokrywają się $(k=l)\;$ (równania opisują ten sam zbiór punktów); współczynniki prostych spełniają wówczas zależność: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

Geometria wykreślna to powstały pod koniec XVIII w. dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. W odróżnieniu od geometrii teoretycznej jest nauką stosowaną, użyteczną w wielu dziedzinach techniki. Z niej wywodzi się m.in. rysunek techniczny maszynowy.
Część wspólna zbiorów (czasami przekrój zbiorów albo iloczyn mnogościowy zbiorów) - dla zbiorów A i B zbiór który zawiera te i tylko te elementy, która należą jednocześnia do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych, niepustych rodzin zbiorów.

Kąt między dwiema prostymi

Kąt pomiędzy dwiema prostymi jest wyznaczony przez półproste, których początek znajduje się w punkcie przecięcia prostych.

Kąt $\varphi$ między prostymi na płaszczyźnie, zadanymi równaniami $A_1 x+B_1 y+C_1=0 ,\ \ A_2 x+B_2 y+C_2=0,$

daje się wyznaczyć ze wzorów $\operatorname{tg} \varphi=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{A_1 A_2+B_1 B_2},$ $\cos \varphi=\frac{A_1 A_2+B_1 B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}},$ $\sin \varphi=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.$

Wzory te upraszczają się, jeśli równania prostych są unormowane.

Można też użyć wzorów dla dwóch szczególnych przypadków:

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter (ur. 9 lutego 1907 w Londynie, zm. 31 marca 2003 w Toronto) – matematyk, uważany za jednego z najwybitniejszych specjalistów XX wieku w dziedzinie geometrii, większość życia spędził w Kanadzie. Przez 60 lat pracował na Uniwersytecie Toronto, opublikował 12 książek. Otrzymał najwyższy stopień orderu Kanady - Companion.

jeśli $A_1 B_2-A_2 B_1=0\;$ , to proste są równoległe,

jeśli $A_1 A_2+B_1 B_2=0\;$ , to są prostopadłe.

Zobacz też uogólnienia: kąt między dwiema krzywymi, kąt między prostymi w przestrzeni.

Trzy punkty na prostej

Trzy punkty $(x_1,y_1),\ (x_2,y_2),\ (x_3,y_3)$ leżą na jednej prostej (są współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\\ \end{vmatrix}=0.$

Inny warunek konieczny i wystarczający współliniowości: $\frac{x_3 - x_1}{x_2-x_1}= \frac{y_3 - y_1}{y_2 - y_1}$

(lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem).

Rzędna (łac. ordinata) - druga współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem y, a jej oś symbolem OY.
Architektura (gr. αρχιτεκτονική architektonike) – czynność projektowania i konstruowania budynków oraz innych struktur przez osobę lub komputer, głównie dla zapewnienia schronienia. Szersza definicja często włącza projekt całości otoczenia od skali makro, czyli jak budynek zintegruje się z otoczeniem, do skali mikro, czyli detale architektoniczne i konstrukcyjne, czasami meble miejskie. Jako zajęcie, architektura to rola osób i komputerów zapewniających usługi architektoniczne. Jako dokumentacja, zazwyczaj bazuje na rysunkach, architektura definiuje charakter budynku. Architekci za główne zadanie mają zapewnienie potrzeb przestrzennych i mieszkaniowych w pewnych grupach przez kreatywne organizowanie materiałów oraz komponentów, biorąc pod uwagę masę, przestrzeń, formę, głośność, teksturę, strukturę, światło, cień, materiały, program oraz pragmatyczne elementy takie jak: koszt, limity technologiczne i konstrukcyjne, aby osiągnąć równowagę z funkcjonalnym, ekonomicznym oraz często z artystycznymi i estetycznymi aspektami. To odróżnia architekturę od inżynierii.

Trzy proste przecinające się w jednym punkcie

Jeśli proste o równaniach odpowiednio: $A_1 x+B_1 y+C_1=0,\;$ $A_2 x+B_2 y+C_2=0\;$

przecinają się w punkcie $P\;$ , to prosta o równaniu $A_3 x+B_3 y+C_3=0\;$

także przecina się z nimi w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy: $\begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3\\ \end{vmatrix}=0.$

Pęki prostych

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci: $t_1(A_1x+B_1y+C_1)+t_2(A_2x+B_2y+C_2)=0\;$ , gdzie $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ spełniają warunek $t_1^2+t_2^2>0\;$ .

Każda prosta przechodząca przez środek pęku (będąca współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) da się przedstawić powyższym równaniem i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

Rzut prostokątny na płaszczyznę – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z płaszczyzną. Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego.
Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamy kierunkiem albo niewłaściwym pękiem prostych.

Przestrzeń trójwymiarowa

Równania określające prostą w przestrzeni trójwymiarowej łatwo otrzymać z podanych poniżej równań dla przestrzeni wielowymiarowej. Należy tylko, zgodnie z tradycją, zamiast $x_1, x_2, x_3\;$ napisać odpowiednio $x, y, z\;$ i przyjąć liczbę wymiarów $n=3\;$ .

Przestrzeń wielowymiarowa

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być albo równoległe (szczególnym przypadkiem są proste identyczne), albo przecinać się (czyli mieć jeden punkt wspólny). Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej (oraz dla większej liczby wymiarów) oprócz tego mogą być skośne, czyli nie przecinać się, ale nie być też równoległe.

Prosta Cevy (czewiana) - prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przecinająca przeciwległą do tego wierzchołka prostą zawierającą bok trójkąta.
Ewolwenta (albo rozwijająca) to krzywa, którą kreśli punkt leżący na prostej toczącej się po innej krzywej. Krzywa po której toczy się owa prosta nazywana jest w tym kontekście ewolutą.

Każde równanie w układzie równań liniowych z niewiadomymi będącymi liczbami rzeczywistymi zmniejsza o jeden maksymalną liczbę wymiarów zbioru rozwiązań układu. Aby więc opisać twór jednowymiarowy (prostą) w przestrzeni o $n\;$ wymiarach, trzeba użyć układu $n-1\;$ równań liniowych. Czasem można ten układ łatwo zapisać jako jedno równanie wektorowe.

Wskaźniki Millera – w krystalografii notacja wykorzystywana do opisu kierunków i płaszczyzn krystalograficznych. Rodzina płaszczyzn lub prostych jest określona przez trzy liczby całkowite nazywane wskaźnikami Millera.
Twierdzenie o trzech prostopadłych – twierdzenie stereometrii: Jeżeli prosta b jest rzutem prostokątnym prostej a na daną płaszczyznę, to prosta c leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej a wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do b.

We wszystkich poniższych wzorach indeksy dolne oznaczają kolejne współrzędne przestrzeni wielowymiarowej, a punkty definiowanej prostej mają współrzędne postaci $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ ; $n\;$ to liczba wymiarów przestrzeni.

Równanie parametryczne

W przestrzeni kartezjańskiej n-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.

W tym ujęciu prosta $l\;$ o (niezerowym) wektorze kierunkowym $\overrightarrow\alpha =[u_1,u_2,\ldots, u_n]$ , przechodząca przez punkt $A=(a_1, \ldots, a_n)$ to zbiór punktów $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ takich, że

Oś współrzędnych - oś liczbowa wykorzystywana do budowy układu współrzędnych, pozwalająca na jednoznaczne określenie położenia punktu przez określenie jego współrzędnych.
Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).

$P=A+t\overrightarrow\alpha\;$ , dla dowolnych $t\in \mathbb R$ .

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to $l=A+\operatorname{lin}(\overrightarrow\alpha)$ .

Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci: $\left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+tu_1 \\ x_2=a_2 + tu_2 \\ \vdots \\ x_n = a_n+tu_n \end{matrix}\right.$

Przy tym $a_1, a_2, \dots, a_n$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast $u_1, u_2, \dots, u_n$ są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Inaczej bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.

Równań w tym układzie jest $n\;$ , a nie $n-1\;$ , jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadzono kolejną zmienną $t\;$ , a więc konieczne jest n-te równanie, aby otrzymać prostą a nie płaszczyznę.

Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907 – 1915, a opublikowanej w roku 1916.
Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi[1] swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiźnie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Równania ogólne

Prosta w n-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólna $n-1\,$ hiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóch płaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań: $\left\{\begin{array}{l} a_{1,1} x_1+a_{1,2} x_2+\ldots +a_{1,n} x_n=D_1 \\ a_{2,1} x_1+a_{2,2} x_2+\ldots +a_{2,n} x_n=D_2 \\ \vdots \\ a_{n-1,1} x_1+a_{n-1,2} x_2+\ldots +a_{n-1,n} x_n=D_{n-1} \end{array}\right.$ ,

co w postaci macierzowej można zapisać jako $\left[\begin{array}{c c c c} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}D_1\\D_2\\ \vdots \\ D_{n-1}\end{array}\right]$

Układ ten opisuje prostą wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia co najmniej jednego z aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa.

$\mbox{r}\left[\begin{array}{c c c c} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n}\end{array}\right]=n-1.$

Równania kanoniczne

Prostą przechodzącą przez punkt $P=(p_1,p_2,\dots,p_n)$ i równoległą do wektora kierunkowego $\vec u=[u_1,u_2,\dots,u_n]$ określają równania: $\frac{x_1-p_1}{u_1}=\frac{x_2-p_2}{u_2}=\dots=\frac{x_n-p_n}{u_n}.$

W przypadku $n=3$ to równanie można zapisać w postaci wektorowej: $(\vec r_x-\vec r_P) \times \vec u=\vec 0,$

gdzie wektor wodzący $\vec r_x=[x_1,x_2,x_3]$ i analogicznie $\vec r_P=[p_1,p_2,p_3];$ symbolem $\times$ oznaczono iloczyn wektorowy.

Można też te równania interpretować jako określające prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłej do hiperpłaszczyzny danej równaniem $u_1 x_1+u_2 x_2+\dots+u_n x_n+D=0.$

Andrzej Białynicki-Birula (ur. 26 grudnia 1935, Nowogródek, Zachodnia Białoruś) – polski matematyk, profesor zwyczajny, członek rzeczywisty PAN, specjalizujący się w geometrii algebraicznej, jeden z pionierów algebry różniczkowej, autor uniwersyteckich podręczników algebry. Jego wczesne wyniki dotyczyły obszaru na granicy logiki i algebry. Współpracował wówczas z Heleną Rasiową. Opublikował też pracę naukową z topologii algebraicznej.
Jules Henri Poincaré (ur. 29 kwietnia 1854 w Cité Ducale niedaleko Nancy, Francja, zm. 17 lipca 1912 w Paryżu) (IPA: [pwɛ̃kaˈʀe]) – francuski matematyk, fizyk, astronom i filozof nauki.

Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

Gdy dane są dwa punkty $(a_1, \dots, a_n)$ i $(b_1, \dots, b_n)$ , to równania prostej przechodzącej przez te punkty są postaci: $\frac{x_1-a_1}{b_1-a_1}=\frac{x_2-a_2}{b_2-a_2}=\dots=\frac{x_n-a_n}{b_n-a_n}.$

Kąt między prostymi w przestrzeni

Kąt $\varphi$ między dwiema przecinającymi się prostymi, danymi za pomocą równań w postaci parametrycznej $\vec r_x=\vec r_A+t \vec u_A,\ t\in\mathbb{R}$

oraz

Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.
Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

$\vec r_x=\vec r_B+t \vec u_B,\ t\in\mathbb{R},$

wyraża wzór: $\cos \varphi=\frac{\vec u_A \vec u_B}{\|\vec u_A\| \cdot \|\vec u_B\|}.$

Symbol $\|\cdot\|$ oznacza normę (długość wektora), $\vec u_A \vec u_B$ oznacza iloczyn skalarny wektorów $\vec u_A$ i $\vec u_B$ .

Jeśli proste nie przecinają się, wzór pokazuje kąt między prostymi po ich przesunięciu bez zmiany kierunków tak, aby się przecinały.

Jeśli proste przedstawimy w postaci parametrycznej: $l_1=P_1+\operatorname{lin}(\overrightarrow\alpha_1)$ , $l_2=P_2+\operatorname{lin}(\overrightarrow\alpha_2)$ , to miara kąta $\varphi$ między tymi prostymi wyraża się wzorem $\cos\varphi=\frac{\overrightarrow\alpha_1\overrightarrow\alpha_2}{\|\overrightarrow\alpha_1\|\cdot\|\overrightarrow\alpha_2\|}.$

Kąt między prostą a płaszczyzną

Osobny artykuł: Kąt między prostą i płaszczyzną.

Geometrie nieeuklidesowe

Piąty postulat Euklidesa

Osobny artykuł: Geometria nieeuklidesowa.

Euklides podał pięć postulatów, tworzących fundamenty jego geometrii. Szczególnie interesujący jest piąty z nich, tzw. postulat równoległości, który w oryginalnej wersji brzmiał

Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.
Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

Jeśli prosta przecina dwie proste w ten sposób, że kąty wewnętrzne po tej samej stronie prostej przecinającej są mniejsze od dwóch kątów prostych to proste te (przecinane) spotkają się z tej właśnie strony. (Rysunek obok.)

Sformułowanie to było długie i stosunkowo mało oczywiste w porównaniu z innymi pewnikami, jednak było Euklidesowi niezbędne do przeprowadzenia wielu ważnych dowodów. Współczesnym Euklidesa nie udało się wyprowadzić go z pozostałych aksjomatów i w ten sposób usunąć z grona niezbędnych postulatów geometrii. Ostatecznie późniejsi matematycy odkryli, że nie można go w ogóle usunąć, da się jednak zastąpić prostszą, równoważną wersją, np.

Wektor – obiekt geometryczny w lub – zdaniem niektórych niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem
Przestrzeń dwuwymiarowa – potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o dwóch wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Jest to przestrzeń opisująca np. relacje między punktami na płaszczyźnie.

Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić dokładnie jedną nie przecinającą jej prostą (czyli prostą równoległą).

Zmieniając sens tego postulatu, przy zachowaniu niezmienionych pozostałych, możemy uzyskać spójne i niesprzeczne systemy, tzw. geometrie nieeuklidesowe, które dobrze opisują przestrzeń zakrzywioną, np. geometrię powierzchni kuli.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.
Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

Zasadniczo zmiany te mogą iść w dwóch różnych kierunkach:

Przez punkt nie leżący na danej prostej można przeprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą – otrzymujemy wówczas tzw. geometrię hiperboliczną (Łobaczewskiego).

Przez punkt nie leżący na danej prostej nie można przeprowadzić żadnej prostej równoległej – otrzymujemy tzw. geometrię eliptyczną (sferyczną).

Można też wyobrazić sobie przestrzeń, która w niektórych obszarach ma właściwości geometrii hiperbolicznej, w innych geometrii eliptycznej a w jeszcze innych euklidesowej – takie przestrzenie opisuje uogólnienie wszystkich tych geometrii, zwane geometrią Riemanna.

Prosta Eulera – w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.
Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Proste w geometriach nieeuklidesowych nadal mogą być zdefiniowane jako nieograniczone linie geodezyjne danej przestrzeni, tak jak zasygnalizowano na początku artykułu. Tak zdefiniowane proste spełniają wszystkie aksjomaty Euklidesa, z wyjątkiem postulatu równoległości. Ta definicja pasuje także do geometrii euklidesowej, gdzie wyznacza zwykłe proste.

Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i o końcu w punkcie A, czyli np. w układzie kartezjańskim:
Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (ros. Никола́й Ива́нович Лобаче́вский) (ur. 1 grudnia 1792 r. w Niżnym Nowogrodzie - zm. 24 lutego 1856 w Kazaniu) - rosyjski matematyk.

Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)

Osobny artykuł: Geometria hiperboliczna.

W geometrii hiperbolicznej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie przecinające jej (zob. rysunek). W tej geometrii dla każdego kąta występuje też tzw. prosta zagradzająca kąt – prosta, która jest jednocześnie równoległa do obydwu jego ramion.

Koło wielkie – największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli ją na dwie symetryczne połowy zwane półkulami.
Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Istnieje kilka różnych modeli geometrii hiperbolicznej. Proste są w nich różnie interpretowane, jednak idzie za tym zmiana definicji pojęcia odległości:

W modelu Kleina przestrzeń to wnętrze koła, a prosta to cięciwa tego koła.

W modelu dysku Poincaré przestrzeń to także wnętrze koła, ale proste to części okręgów prostopadłe do obwodu tego koła w punktach styku, oraz średnice koła.

W modelu półpłaszczyzny Poincaré przestrzeń to półpłaszczyzna z wyłączonym brzegiem, a proste to półokręgi o środkach na brzegu półpłaszczyzny oraz półproste prostopadłe do tego brzegu i zaczynające się na nim.

W modelu Minkowskiego przestrzeń to jedna z powłok hiperboloidy dwupowłokowej, a proste to przecięcia tej powłoki z płaszczyznami przechodzącymi przez środek symetrii hiperboloidy.

Model prostych geometrii sferycznej (czyli okręgi wielkie zaznaczone ciągłymi liniami)

Geometria eliptyczna (sferyczna)

Osobny artykuł: Geometria eliptyczna.

W geometrii sferycznej, której model stanowi powierzchnia kuli (także kuli ziemskiej) nie istnieją dwie proste nie przecinające się. Punktami w tej geometrii są zbiory dwóch punktów euklidesowych leżących po przeciwnej stronie sfery, a prostymi tzw. okręgi wielkie sfery, czyli okręgi na jej powierzchni, których środek pokrywa się ze środkiem sfery.

Oś obrotu - prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.
Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Przykładowe okręgi wielkie na rysunku obok są oznaczone ciągłymi liniami. Inne okręgi (oznaczone przerywanymi liniami) nie są prostymi tej geometrii, gdyż nie wyznaczają najkrótszych dróg. Pomiędzy dwoma dowolnymi punktami sfery można bowiem przejść po łukach nieskończonej liczby różnych okręgów, ale tylko jeden z tych okręgów będzie okręgiem wielkim, i ta właśnie trasa będzie najkrótsza – jest to tak zwana ortodroma. Z definicji zatem łuki okręgów wielkich to odcinki w geometrii sferycznej, łuki pozostałych okręgów odcinkami nie są.

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, dla elementów której określone jest pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości wektora w przestrzeni euklidesowej. Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną dodatkową własność, związaną z ich strukturą metryczną. Historycznie to własnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.
W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.

Wprowadzając dla dwuwymiarowej geometrii eliptycznej układ współrzędnych z długością geograficzną $\phi\;$ i szerokością geograficzną $\theta\;$ możemy zdefiniować jej prostą (okrąg wielki) równaniem: $A\cos\theta\cos\phi+B\cos\theta\sin\phi+C\sin\theta=0,\;$

gdzie $A,\;$ $B\;$ i $C\;$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, które nie są jednocześnie wszystkie trzy równe zeru.

Sfera jest przykładem przestrzeni ograniczonej, w której proste również są ograniczone. Jednak nawet tutaj okręgi wielkie pozostają liniami geodezyjnymi i nie posiadają zakończeń.

Ziemia (łac. Terra) − trzecia licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu.
Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Dla podzbioru U przestrzeni liniowej V nad ciałem K potrzeba i wystarcza by był on podprzestrzenią liniową, gdy dla wszystkich i spełnione są warunki:

Czasoprzestrzeń

W szczególnej oraz ogólnej teorii względności przestrzeń fizyczna i czas są związane tworząc w sensie matematycznym czterowymiarową czasoprzestrzeń. W szczególnej teorii względności czasoprzestrzeń ta jest przestrzenią Minkowskiego, a w ogólnej teorii względności przestrzenią pseudoriemannowską będącą modyfikacją geometrii Riemanna. W obydwu teoriach linia świata ciała na które nie działa żadna siła jest linią prostą (geodezyjną). W ogólnej teorii względności grawitacji nie uznaje się za oddziaływanie, lecz czynnik, który zakrzywia czasoprzestrzeń. Ciało oddziaływające grawitacyjnie nadal przemieszcza się po prostej (analogicznie do pierwszej zasady dynamiki Newtona), jednak nie jest to prosta przestrzeni fizycznej, lecz prosta w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Stąd z punktu widzenia geometrii euklidesowej porusza się ono (w przestrzeni fizycznej) po zakrzywionym torze. Grawitacja nie jest interpretowana jako siła działająca na ciało, a jako zakrzywienie czasoprzestrzeni, w której to ciało się porusza.

Nulka – znak graficzny przypominający okrąg (często dla większej czytelności pogrubiony) umieszczany na wykresach funkcji. Najczęściej służy do zaznaczania punktów nie należących do wykresu funkcji, początku półprostej, punktów nieciągłości oraz otwartych końców przedziałów; rzadziej innych punktów osobliwych funkcji.
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Wzajemne położenie punktów w czasoprzestrzeni jest dzielone na trzy typy w zależności od wartości interwału czasoprzestrzennego (odpowiednik odległości). Ponieważ wszystkie punkty prostej w czasoprzestrzeni mają ten sam typ, proste także możemy podzielić na:

czasowe (interwał czasoprzestrzenny $s_{12}^2>0\;$ ; proste reprezentują prędkości mniejsze od prędkości światła w próżni) – mogą być trajektoriami cząstek posiadających niezerową masę spoczynkową;

zerowe ( $s_{12}^2=0\;$ ; proste reprezentują prędkość światła c) – mogą być trajektoriami jedynie cząstek bezmasowych (np. fotonów);

przestrzenne ( $s_{12}^2<0\;$ ; proste reprezentują prędkości większe od c) – nie mogą być trajektoriami żadnych cząstek (oprócz hipotetycznych tachionów, których istnienie nie zostało w żaden sposób potwierdzone).

Krzywa $x^\alpha(s)\;$ , która ma w punkcie $s\;$ kierunek $d x^\alpha/ ds = U^\alpha(s)\;$ jest linią geodezyjną (prostą w czasoprzestrzeni) jeśli

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.
Wydawnictwo Naukowe PWN SA – polskie wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Jednostka dominująca grupy kapitałowej, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

$\nabla_{U} U^\beta = 0\;$

lub $U^\alpha \nabla_\alpha U^\beta = 0,\;$

co oznacza, że jej pochodna kowariantna dla jej kierunku w danym punkcie jest równa zeru.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)