Prosta prostopadła - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia geometrii elementarnej. Zapoznaj się również z: ortogonalność – uogólnienie pojęcia na przestrzenie unitarne.

Prosta $\scriptstyle AB$ jest prostopadła do $\scriptstyle CD$ w punkcie $\scriptstyle B,$ ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to (dowolny) kąt stworzony przez ich przecięcie nazywa się kątem prostym, który ma miarę ½π radianów lub 90°. Odwrotnie, dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

Konstrukcja

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej $\scriptstyle AB$ w punkcie $\scriptstyle P$ kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

krok 1: nakreślić okrąg o środku $\scriptstyle P,$ w celu znalezienia na prostej $\scriptstyle AB$ punktów $\scriptstyle A^'$ i $\scriptstyle B^'$ równoodległych od $\scriptstyle P;$

krok 2: nakreślić okręgi o środkach w $\scriptstyle A'$ oraz $\scriptstyle B',$ które przechodzącą przez $\scriptstyle P;$ punkt $\scriptstyle Q$ będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;

krok 3: połączyć $\scriptstyle P$ oraz $\scriptstyle Q,$ aby skonstruować szukaną prostopadłą $\scriptstyle PQ.$

Aby udowodnić, że $\scriptstyle PQ$ rzeczywiście jest prostopadła do $\scriptstyle AB$ wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów $\scriptstyle QPA^'$ oraz $\scriptstyle QPB^',$ które zapewnia o równości miar kątów $\scriptstyle OPA^'$ i $\scriptstyle OPB^'.$ Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów $\scriptstyle OPA^'$ oraz $\scriptstyle OPB^'$ otrzymuje się równość miar kątów $\scriptstyle POA$ i $\scriptstyle POB.$

Kąty przyległe - kąty mające wspólne ramię, których pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Kąty takie tworzą razem kąt półpełny. Suma miar kątów przyległych wynosi 180°, z czego wynika, że kąty wklęsłe nie mają kątów przyległych.

Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).

Związek z równoległością

Proste $\scriptstyle a$ i $\scriptstyle b$ są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną $\scriptstyle c$ .

Jak pokazano na rys. obok jeżeli dwie proste ( $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b$ ) są obie prostopadłe do trzeciej prostej ( $\scriptstyle c$ ), to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Stąd, w geometrii euklidesowej, każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe, o czym mówi postulat równoległości. Odwrotnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Przystawanie – cecha figur geometrycznych intuicyjnie rozumiana jako identyczność kształtu i wielkości. Dwie figury uważa się za przystające, jeśli istnieje izometria całej przestrzeni przekształcająca jedną figurę na drugą. Ponieważ każdą izometrię można rozłożyć na obroty i translacje, i ewentualnie symetrię, więc daje to wygodne kryterium rozpoznawania figur przystających:

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Na rys. obok wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle b$ są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.

Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.

jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;

jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;

prosta $\scriptstyle c$ jest prostopadła do prostej $\scriptstyle a;$

prosta $\scriptstyle c$ jest prostopadła do prostej $\scriptstyle b;$

Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie $\scriptstyle xy$ mogą być opisane równaniami

Stopień – jednostka miary kąta płaskiego, równa 1/360 kąta pełnego czyli 1/90 kąta prostego. Oznaczana jest przez 1°, spotyka się również oznaczenie 1 deg (ang. degree). Nie jest jednostką układu SI.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.

$ax + by + e = 0$ oraz $cx + dy + f = 0.$

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle ac + bd = 0.$

Dla prostych nierównoległych do osi $\scriptstyle y$ równania mogą przybrać postać: $y = ax + b$ oraz $y = cx + d.$

Wielkości $\scriptstyle a$ oraz $\scriptstyle c$ nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności $\scriptstyle ac = -1.$

Zobacz też

ortogonalność,

płaszczyzna normalna,

równoległość.

Linki zewnętrzne

Definicja: prostopadłość (ang.) wraz z animacją interaktywną

Jak narysować prostopadłą dwusieczną odcinka za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz

Jak narysować prostopadłą w wierzchołku kąta za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz