Przestrzeń Banacha - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana w której metryka wyznaczona przez normę jest zupełna. Innymi słowy, przestrzeń Banacha to taka przestrzeń unormowana, dla której każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny (do pewnego jej elementu). Istnieją przestrzenie unormowane, które nie są przestrzeniami Banacha (stosowny przykład podany jest w dalszej części artykułu).

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną tak liczby 3 jak i − 3.
Operator słabo zwarty - operator liniowy T: X → Y pomiędzy przestrzeniami unormowanymi X i Y o tej własności, że domknięcie obrazu kuli jednostkowej B przestrzeni X jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Y. Każdy operator słabo zwarty jest ograniczony (a więc ciągły). Pojęcie operatora słabo zwartego definiowane jest czasami dla szerszych klas przestrzeni liniowo-topologicznych.

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze dla p ≥ 1. Norbert Wiener i Stefan Banach zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

Równanie całkowe to równanie funkcyjne, w którym występuje całka niewiadomej funkcji. Równania te, w zależności od tego, czy funkcja niewiadoma pojawia się ponadto sama, dzielą się na jednorodne i niejednorodne. Wyróżnia się ponadto kilka ich rodzajów na podstawie typu występujących w nim całek (ściślej granic tych całek). Funkcję szukaną często oznacza się φ(x). Zadaniem jest znalezienie postaci funkcji na przedziale [a,b].
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.
Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L. Przestrzenie Sobolewa są szereoko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe

Ciało $K$ , traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych $K^n$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci $x = (x_1, \dots, x_n)\in K^n$ norma ta dana jest wzorem

Miara licząca (zliczająca) – w teorii miary intuicyjny sposób określenia miary na dowolnym zbiorze: „wielkość” danego podzbioru określa się liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony.
Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ .

W przypadku, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, normę tę często oznacza się po prostu $|\cdot |$ . Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem $\|x\|_\max = \max_{1\leqslant i\leqslant n} |x_i|$ .

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.
Zbiory miary zero – w analizie matematycznej, teorii mnogości, a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary. Czasami stosuje się synonim zbiory zaniedbywalne.

Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.

Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych

Przestrzeń $C(\Omega)$ , wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (i niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa $\Omega$ z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

$\|f\| = \sup \{|f(x)|\colon\, x \in \Omega\}\,$

Jeśli $A$ jest dowolnym zbiorem, a $(Y, \|\cdot\|_Y)$ jest przestrzenią Banacha, to przestrzeń $B(A,Y)$ funkcji ograniczonych określonych na $A$ i o wartościach w $Y$ jest przestrzenią Banacha z normą $\|f\|=\sup \{\|f(x)\|_Y\colon\, x\in A\}$ .

Przestrzenie l, c i c0

Przestrzeń $\ell^\infty=B(\mathbb{N}, K)$ ,

tj. przestrzeń wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych jest (nieośrodkową) przestrzenią Banacha izometryczną z przestrzenią $C(\beta \mathbb{N})$ , gdzie $\beta \mathbb{N}$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie c i c0 ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni $\ell^\infty$ . Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni $\ell^\infty$ jest jednak domknięta:

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Przestrzeń c00

Jeśli $e_k=(0,0,\ldots, 0,1,0,0, \ldots )$

tzn. $e_k$ jest takim ciągiem, który na k-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem $c_{00}$ oznacza się zbiór wszystkich kombinacji liniowych ciągów $e_k$ . Innymi słowy elementami przestrzeni $c_{00}$ są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń $c_{00}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $c$ ponieważ suma dwóch ciągłow o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Frigyes Riesz (ur. 22 stycznia 1880, zm. 28 lutego 1956) – matematyk węgierski, członek Węgierskiej Akademii Nauk, profesor uniwersytetu w Kluż, Szegedzie i Budapeszcie; podstawowe jego prace dotyczą topologii i analizy funkcjonalnej. Imieniem tego matematyka nazwano m.in. przestrzenie Riesza (przestrzenie liniowe z określonym częściowym porządkiem kraty - obiekty studiowane głównie w teorii miary).

$\left( \sum_{k=1}^n\frac{e_k}{k}\right)_{n\in \mathbb{N}}$

jest ciągiem Cauchy'ego punktów (ciągów) z przestrzeni $c_{00}$ , który jest zbieżny w przestrzeni $c_0$ do ciągu $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots)\notin c_{00}$ ,

a zatem przestrzeń $c_{00}$ nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie L

Zapoznaj się również z: Przestrzeń Lp.

Dla ustalnego p ≥ 1, można zdefiniować przestrzenie wszystkich tych ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , że $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p<\infty$

Przestrzenie te oznacza się symbolem $\ell^p$ . Są one przestrzeniami liniowymi (z działaniami określonymi "po współrzędnych") dla których funkcjonał

Język Québec oraz Ontario, Nouveau-Brunswick, – ok. 8 mln osób. Ok. 201 milionów używa francuskiego na całym świecie jako języka głównego (oszacowanie z r. 2009 wg Organisation mondiale de la Francophonie) a 72 miliony jako drugiego języka codziennego (w tym krajach Maghrebu). Wiele z tych osób mieszka w krajach, gdzie francuski jest jednym z języków urzędowych bądź powszechnie używanych (54 kraje). Paradoksalnie, w Algierii, Maroku, i Tunezji, gdzie nie ma statusu języka urzędowego jest bardziej rozpowszechniony niż w wielu krajach Czarnej Afryki, gdzie jest jedynym językiem urzędowym i używa go 96 milionów ludzi.
Przestrzeń refleksywna - w analizie funkcjonalnej, przestrzeń unormowana, która jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do jej przestrzeni sprzężonej (tzw. drugiej sprzężonej) poprzez pewne szczególnie odwzorowanie, zwane zanurzeniem kanonicznym przestrzeni unormowanej w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Na mocy powyższej definicji każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha.

$\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$
jest normą zupełną, a więc są one przestrzeniami Banacha. Przestrzenie te mają swoje uogólnienia na rodziny funkcji całkowalnych w p-tej potędze: Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie ustaloną przestrzenią z miarą oraz niech p ≥ 1. W rodzinie wszystkich tych funkcji $f\colon \Omega \to K$ , że $|f|^p$ jest funkcją całkowalną w sensie Lebesgue'a względem miary $\mu$ , tzn. takich funkcji, że
Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
$\int\limits_\Omega |f(x)|^p\mu(dx)<\infty$ ,
można wprowadzić relację równoważności, która utożsamia funkcje równe $\mu$ -prawie wszędzie. Symbolem $L^p(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ oznacza się przestrzeń (klas abstrakcji) funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze (względem miary $\mu$ ). Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą $\|f\|_p=\left(\int\limits_\Omega~|f(x)|^p \mu(dx)\right)^{\frac{1}{p}}$ .
Przestrzenie tego typu są istotnie uogólnieniem przestrzeni $\ell^p$ . Jeżeli $\Omega$ jest zbiorem liczb naturalnych, $\mathcal{F}$ rodziną wszystkich jego podzbiorów, a $\mu$ jest miarą liczącą na tym zbiorze, to $\ell^p=L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ .
Rozszerzeniem pojęcia przestrzeni typu $L^p$ są przestrzenie Sobolewa, które w naturalny sposób pojawiły się w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że w zbiorze X istnieje metryka wyznaczająca topologię identyczną z wyjściową topologią przestrzeni X. Jeżeli τ jest topologią w przestrzeni X oraz d jest metryką, która wyznacza topologię τ, to odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem, co oznacza, że przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne. W szczególności, każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)