Przestrzeń afiniczna - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zapoznaj się również z: przestrzeń afiniczna w ujęciu geometrii syntetycznej.

Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Kombinacja afiniczna – w matematyce pojęcie będące szczególnym przypadkiem kombinacji liniowej w przestrzeniach liniowych mające przede wszystkim zastosowania w przestrzeniach afinicznych, a więc i euklidesowych; z tego względu istotne w geometrii euklidesowej.
Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń fizyczna (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć tak pierwszej, jak i drugiej z nich.

Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Wprowadzenie geometryczne

Zapoznaj się również z: geometria afiniczna.

Historycznie pojęcie przestrzeni afinicznej ma swój początek w odkryciu wielu nowych całkowicie spójnych geometrii różniących się od euklidesowej aksjomatem równoległości. Zakwestionowanie pojęć długości i kąta, które zasadzone są na pojęciu odległości, doprowadziło do przedefiniowania przestrzeni euklidesowej poprzez usunięcie z definicji wspomnianych pojęć i powiązanych z nimi elementów. Wynikiem tej operacji było powstanie geometrii afinicznej, w której struktura algebraiczna przestrzeni okazała się mieć własności podobne do przestrzeni liniowej, która jako taka została zdefiniowana później (dając tym samym początek algebrze liniowej).

Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna definiowana jest jako struktura składająca się z:

zbioru punktów,

zbioru prostych,

relacji incydencji wskazującej relację przynależności punktów względem prostych,

relacji równoległości mówiącej o tym, które proste są równoległe;

tak, że spełniony jest pewien zestaw aksjomatów, w tym sławny aksjomat równoległości Euklidesa.

Zgodnie z duchem programu erlangeńskiego Feliksa Kleina geometria afiniczna może być określona jako zachowująca niezmienniki przekształceń afinicznych (pokrewieństw, powinowactw). Niżej przedstawiony zostanie opis abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej wykorzystujący metody algebry liniowej.

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w działanie mnożenia wektorów, które czyni z niej pierścień.
Geometria afiniczna - jedna z możliwych geometrii. Podstawową figurą geometryczną w tej geometrii jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych a podstawowym odwzorowaniem tzw. odwzorowanie afiniczne. Treścią tej teorii jest m.in. badanie własności figur geometrycznych niezmienniczych ze względu na grupę tych przekształceń. Tutaj bowiem obok podobieństw (przesunięć, obrotów i jednokładności) dochodzą jeszcze rozciąganie i zgniatanie wzdłuż jakiejś prostej. Te ostatnie deformacje mogą być efektem np. rzutowań równoległych. W ujęciu F. Kleina geometria afiniczna jest pewną grupą odwzorowań pośrednią między grupą podobieństw a grupą przekształceń rzutowych.

Definicja

Niech $A\;$ będzie zbiorem, którego elementy, zapisywane niżej pismem prostym (np. $\mathrm a, \mathrm b\;$ ), nazywane będą punktami, a $V\;$ będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem; nazwy elementów wspomnianych zbiorów nie ulegają zmianie: elementy ciała, zapisywane pismem pochyłym (np. $r, s\;$ ), nazywane są skalarami, a elementy przestrzeni liniowej, zapisywane pismem półgrubym (np. $\mathbf v, \mathbf w$ ) – wektorami.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę $(A, V)\;$ wyposażoną w działanie $A \times V \to A\colon (\mathrm a, \mathbf v) \mapsto \mathrm a + \mathbf v$

spełniające aksjomaty:

$(\mathrm a + \mathbf v_1) + \mathbf v_2 = \mathrm a + (\mathbf v_1 + \mathbf v_2)$ dla dowolnego $\mathrm a \in A$ oraz $\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in V,$

$\mathrm a + \mathbf 0 = \mathrm a$ dla każdego $\mathrm a \in A,$

dla dowolnych $\mathrm a, \mathrm b \in A$ istnieje tylko jeden wektor $\mathbf v \in V$ taki, że $\mathrm b = \mathrm a + \mathbf v.$

Wektor $\mathbf v$ łączący punkty $\mathrm a$ oraz $\mathrm b$ (w podanej kolejności) z ostatniego aksjomatu bywa zwykle oznaczany symbolem $\overrightarrow\mathrm{ab},$ niekiedy korzysta się też po prostu z zapisu $\mathrm b - \mathrm a.$ Zwykle przestrzeń afiniczną opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary; przy podanych oznaczeniach symbolem $A.$ Przestrzeń $V$ nosi wtedy nazwę przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzeni wektorów swobodnych.

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.
Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).

Wymiarem przestrzeni afinicznej $(A, V)\;$ nazywa się wymiar przestrzeni liniowej $V\;$ .

Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu $\mathrm a \in A$ ) do określonego w definicji, $A \times A \to V\colon (\mathrm a, \mathrm b) \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab},$

które dla ustalonego $b \in B$ jest bijekcją postaci $A \to V\colon \mathrm a \mapsto \overrightarrow\mathrm{ab}$

i w której dla dowolnych $\mathrm a, \mathrm b, \mathrm c \in A$ zachodzi

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Przestrzeń rzutowa - obiekt zainteresowania geometrii rzutowej. Jest to modyfikacja pojęcia przestrzeni geometrycznej, gdzie każde dwie proste leżące na jednej płaszczyźnie posiadają punkt wspólny.

$\overrightarrow\mathrm{ab} + \overrightarrow\mathrm{bc} = \overrightarrow\mathrm{ac}.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)