Przestrzeń euklidesowa - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zapoznaj się również z: przestrzeń euklidesowa w ujęciu geometrii syntetycznej.

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się również inne przestrzenie, które nie są euklidesowe, np. płaszczyzna sfery: kąty odpowiednio zdefiniowanego trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni. W rzeczywistości istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa każdego wymiaru, choć istnieje wiele przestrzeni nieeuklidesowych tego samego wymiaru. Często przestrzenie te konstruuje się poprzez postępującą deformację przestrzeni euklidesowych.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe. Zgodnie z rys. 1 prosta AB jest prostopadła do CD w punkcie B.
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Wprowadzenie

Podejście klasyczne

Osobny artykuł: geometria euklidesowa.

Modele obrazujące rozciągłość (prostą), powierzchnię i przestrzeń (trójwymiarową) były znane już w starożytności: ok. 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides przedsięwziął badania nad zależnościami między odległościami i kątami, najpierw na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni), a następnie w przestrzeni. Dzisiaj właśnie te zależności znane są jako dwu- i trójwymiarowa geometria euklidesowa.

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

W podejściu tym nie definiuje się pojęć punktu, prostej, płaszczyzny, lecz przyjmuje je za dane – są to pojęcia pierwotne. Nie definiuje się również relacji należenia punktu do prostej (zob. incydencja), prostej do płaszczyzny itd. Wszystkie inne obiekty, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., można wyrazić za pomocą wspomnianych pojęć pierwotnych, korzystając z aksjomatów (choć dziś nie korzysta się z niezupełnego systemu Euklidesa).

Półprosta to jednowymiarowa figura geometryczna powstała przez przecięcie prostej w dowolnie wybranym punkcie, nazywanym początkiem półprostej. Punkt ten, oraz wszystkie punkty prostej leżące po jednej jego stronie tworzą półprostą.
Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby przestrzeń euklidesową rozbudować o obiekty nadrzędne względem punktu, prostej i płaszczyzny dodając analogicznie kolejne rodzaje obiektów. Należy tylko rozszerzyć definicję o pojęcia pierwotne kolejnych obiektów i relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych” („rozmiar” tych obiektów mierzy wymiar: przyjmuje się, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy). Problematyczne okazuje się jedynie spójne komponowanie drzewa kolejnych pojęć i zależności między nimi. Z tego powodu często rezygnuje się dziś z wprowadzania geometrii euklidesowej we wspomniany sposób (tzw. geometria syntetyczna) korzystając raczej z teorii algebry i analizy (tzw. geometria analityczna).

Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Podejście współczesne

Jednym ze sposobów myślenia o płaszczyźnie euklidesowej jest postrzeganie jej jako zbioru punktów, które spełniają określone zależności wyrażalne za pomocą pojęć odległości i kąta. Przykładowo istnieją dwa zasadnicze przekształcenia płaszczyzny: przesunięcie (translacja), polegające na przemieszczeniu wszystkich punktów płaszczyzny o tę samą odległość w ustalonym kierunku, oraz obrót wokół ustalonego punktu wszystkich punktów płaszczyzny. Jedną z podstawowych zasad geometrii euklidesowej jest to, że dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) winny być uważane za równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą ciągu przesunięć, obrotów i odbić (zob. grupa euklidesowa).

Grawitacja (ciążenie powszechne) - jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Aby uzyskać matematycznie precyzyjną teorię, należy jasno zdefiniować pojęcia takie jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie), prostopadłość, kąt (obrót, odbicie). Standardowo płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną wraz z iloczynem skalarnym. Wówczas

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.
Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest kanoniczna w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:

punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej,

wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom,

iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.

Wyrażenie płaszczyzny euklidesowej w tym języku sprawia, że rozszerzenie tego pojęcia na dowolne wymiary jest już proste: terminologia, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków). Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nieformalnie: hiperprzestrzenie). Większość poniższego artykułu poświęcona jest rozwijaniu współczesnego opisu tych przestrzeni, niezbędnego do uogólnień na wyższe wymiary.

Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz drogi do celu dla statków, pojazdów i innych przemieszczających się obiektów.
Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

Często w rozważaniach pomija się istnienie przestrzeni afinicznej, która działa na przestrzeni liniowej w naturalny sposób. Intuicyjnie polega to na pominięciu wskazania początku przestrzeni, ponieważ może być ona przesunięta w dowolne miejsce (przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku).

Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Definicja

Niech dana będzie przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb R$ wymiaru $n,$ w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną $(E, V)$ nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru $n.$

Skalary, czyli elementy ciała, będą oznaczane pismem pochyłym, np. $a, b.$ Elementy przestrzeni $E,$ nazywane punktami, oznaczane będą dalej symbolami prostymi, np. $\mathrm p, \mathrm q,$ zaś elementy przestrzeni $V$ nazywane wektorami będą oznaczane symbolami półtłustymi, np. $\mathbf v, \mathbf x$ lub dwoma symbolami prostymi ze strzałką nad nimi, np. $\overrightarrow{\mathrm{pq}}, \overrightarrow{\mathrm{st}}$ lub symbolami prostymi połączonymi znakiem odejmowania, np. $\mathrm q - \mathrm p, \mathrm t - \mathrm s,$ są to wektory wyznaczane przez uporządkowaną parę punktów.

Odległość Minkowskiego – w matematyce uogólniona miara odległości między punktami przestrzeni euklidesowej; niekiedy nazywa się także odległością Lm. Można o niej myśleć jako o uogólnieniu odległości euklidesowej (L2), miejskiej (L1, w teorii informacji znanej jako odległość Hamminga) oraz Czebyszewa (L∞, tzn. Lm w granicy przy m → ∞).
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

Iloczyn skalarny $\cdot$ wektorów wyznacza metrykę $d_e(\mathrm a, \mathrm b) = \left\|\overrightarrow{\mathrm{ab}}\right\| \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \left\|\mathrm b - \mathrm a\right\|$

dla $\mathrm a, \mathrm b \in E,$ nazwaną metryką (odległością) euklidesową, gdzie $\|\mathbf v\| = \sqrt{\mathbf v \cdot \mathbf v}$

jest normą nazywaną normą euklidesową.

Analogicznie określa się metrykę między podprzestrzeniami $P, Q \subseteq E$ : $d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}\mathrm p \in P,\\ \mathrm q \in Q \end{smallmatrix}~d(\mathrm p, \mathrm q).$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)