Przestrzeń jednospójna - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń jednospójna – łukowo spójna przestrzeń topologiczna o trywialnej grupie podstawowej.

Innymi słowy jest to przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca następujące warunki

dowolne dwa punkty można połączyć drogą ( $X$ jest łukowo spójna)
dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do tego obiektu, w dowolną inną krzywą łączącą te punkty (każde dwie drogi łączące $x \in X$ z $y \in X$ są homotopijne)

Zbiór jednospójny to zbiór ze strukturą topologiczną, który potraktowany jako przestrzeń topologiczna jest przestrzenią jednospójną.

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i każdą zawartą w niej pętlę da się ściągnąć do punktu. Jest też jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i posiada genus zero, czyli nie ma otworów. Zbiory z otworem lub otworami (np. torus, okrąg) nie są jednospójne właśnie ze względu na te otwory, które sprawiają, że np. równoleżnika w torusie nie można w sposób ciągły zmniejszyć do punktu.

Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki w którym się je rozważa jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Grupa podstawowa – rozważana w topologii grupa klas homotopii pętli w przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (lub łukowo spójnej), pozwalająca na użycie względnie łatwych metod algebraicznych do dowodzenia skomplikowanych twierdzeń topologicznych.

Przykładami obiektów jednospójnych w przestrzeni euklidesowej są: odcinek, prosta, koło, kula, sfera (dwuwymiarowa w przestrzeni trójwymiarowej); przykładami obiektów spójnych, lecz nie jednospójnych są okrąg, torus, butelka Kleina.

Wszystkie przestrzenie ściągalne są jednospójne (ponieważ każde dwa przekształcenia w przestrzeń ściągalną są homotopijne), jednak nie odwrotnie - na przykład sfera dwuwymiarow jest jednospójna, ale nie jest ściągalna.

Przypisy

Diamenty matematyki - Matematyka - Wirtualny Wszechświat

Źródła

Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 243. ISBN 83-7469-189-1.

Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii – Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 170. ISSN 0239-6432.