Przestrzeń liniowa - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń liniowa to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się o pojęcie równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
Przekształcenie lub odwzorowanie liniowe – w algebrze liniowej odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowujące ich strukturę (tzw. homomorfizm), a więc działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, jest to każda funkcja addytywna i jednorodna.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektory w tych przestrzeniach utożsamiane są odpowiednio z parami i trójkami uporządkowanymi liczb rzeczywistych, reprezentowanymi często w postaci wektorów geometrycznych charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, które zwykle przedstawia się jako strzałki. Wektory takie mogą być sumowane wg reguły równoległoboku (dodawanie wektorów) lub mnożone przez liczby rzeczywiste (mnożenie przez skalar). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Lemat Kuratowskiego-Zorna – jedno z podstawowych narzędzi dowodzenia twierdzeń, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów w teorii mnogości i innych działach matematyki. W krajach anglosaskich bardziej znany jako Lemat Zorna. Oto jedno ze sformułowań lematu:

Definicja

Niech $(K, +, \cdot)$ będzie ciałem (jakim są np. liczby rzeczywiste czy liczby zespolone), którego elementy nazywane będą skalarami, a ono samo – ciałem skalarów. Przestrzenią liniową bądź wektorową nad ciałem $K$ nazywa się zbiór $V$ z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

dodawaniem wektorów: $V \times V \to V$ oznaczanym $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w$ , gdzie $\mathbf v, \mathbf w \in V$ i

mnożeniem przez skalar: $K \times V \to V$ oznaczanym $a\mathbf v$ , gdzie $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ ,

które spełniają poniższe aksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

Dodawanie wektorów jest łączne: Dla dowolnych $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V$ zachodzi $\mathbf u \boldsymbol + (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = (\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v) \boldsymbol + \mathbf w$ .
Dodawanie wektorów jest przemienne: Dla dowolnych $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \mathbf w \boldsymbol + \mathbf v$ .
Dodawanie wektorów ma element neutralny: Istnieje taki element $\boldsymbol 0 \in V$ , nazywany wektorem zerowym, że $\mathbf v \boldsymbol + \boldsymbol 0 = \mathbf v$ dla dowolnego $\mathbf v \in V$ .
Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne: Dla każdego $\mathbf v \in V$ istnieje element $\mathbf w \in V$ , nazywany wektorem przeciwnym do $\mathbf v$ , taki, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \boldsymbol 0$ .
Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów: Dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v, \mathbf w \in V$ jest $a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w$ .
Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów: Dla każdych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Dla dowolnych $a, b \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ jest $a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v$ .
Mnożenie przez skalar ma element neutralny: Dla dowolnego $\mathbf v \in V$ jest $1\mathbf v = \mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element neutralny mnożenia w $K$ .

Uwagi

Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem $K$ jest strukturą matematyczną $(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot)$ , w której:

Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.
Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

$(V, \boldsymbol +)$ jest grupą abelową (aksjomaty 1-4),

$(K, +, \cdot)$ jest ciałem,

wyposażoną w działanie $\boldsymbol \cdot \colon K \times V \to V$ (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5-8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem), w ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, $b\mathbf v$ , oraz mnożenie skalarów (z ciała), $a \cdot b$ .

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.
Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów, jeżeli $\mathbf u, \mathbf v \in V$ , to $\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V$ .
Przestrzeń $V$ jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar, jeżeli $a \in K, \mathbf v \in V$ , to $a\mathbf v \in V$ .

Jednakże zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie $V$ , co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Aksjomaty domkniętości są niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów a nawet w muzyce (kompresja mp3 i jpeg).
Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).

Wyrażenia postaci „ $\mathbf v a$ ”, gdzie $\mathbf v \in V$ oraz $a \in K$ , ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „ $a\mathbf v$ ” oraz „ $\mathbf v a$ ” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa $V$ jest algebrą nad ciałem $K$ , to dla $\mathbf v \in V, \mathbf w \in V$ oraz $a \in K$ zachodzi $a \mathbf v \mathbf w = \mathbf v a \mathbf w$ , co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „ $a\mathbf v$ ” i „ $\mathbf v a$ ” jako reprezentacji tego samego wektora.

Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w działanie mnożenia wektorów, które czyni z niej pierścień.
Felix Hausdorff (ur. 8 listopada 1868 roku we Wrocławiu (wówczas Breslau), zm. 26 stycznia 1942 roku w Bonn) – niemiecki matematyk, jeden z twórców topologii.

Symbol $\cdot$ pomija się często dla działania mnożenia w ciele rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe własności

Następujące własności można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

wektor zerowy $\boldsymbol 0 \in V$ jest wyznaczony jednoznacznie, jeżeli $\boldsymbol 0_1, \boldsymbol 0_2$ są zerami w $V$ takimi, że $\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ oraz $\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v$ , to $\boldsymbol 0_1 = \boldsymbol 0_2 = \boldsymbol 0$ ,

mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, dla dowolnego $a \in K$ jest $a\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0$ ,

mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, dla każdego $\mathbf v \in V$ zachodzi $0\mathbf v = \boldsymbol 0$ , gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania w $K$ ,

żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, $a\mathbf v = \boldsymbol 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $\mathbf v = \boldsymbol 0$ ,

wektor $\boldsymbol -\mathbf v$ odwrotny względem dodawania do $\mathbf v$ jest wyznaczony jednoznacznie, niech $\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}$ będą odwrotnościami $\mathbf v \in V$ takimi, że $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0$ oraz $\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0$ , wówczas $\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}$ . Wektor $\boldsymbol-\mathbf v$ nazywamy przeciwnym do $\mathbf v$ i definiujemy odejmowanie jako $\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v \equiv \mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v)$ ,

mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, dla każdego $\mathbf v \in V$ mamy $(-1)\mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v$ , gdzie $1$ oznacza element odwrotny względem mnożenia w $K$ .

ujemność jest całkowicie przemienna, dla każdego $a \in K$ oraz $\mathbf v \in V$ zachodzi $(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v)$ .

Podprzestrzeń liniowa i baza

Osobne artykuły: podprzestrzeń liniowa i baza (przestrzeń liniowa).

Niepusty podzbiór $W$ przestrzeni liniowej $V$ zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową); mówi się również że zbiór ten rozpina pewną podprzestrzeń. Jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina $V$ nazywany jest bazą $V$ .

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI) wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni $V$ i oznacza $\dim V$ . Na przykład wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej $\mathbb R^3$ , czyli $\dim \mathbb R^3$ , wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$ . Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Działanie – w matematyce i logice jest to operacja na jednym lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami, wynikiem której jest element nazywany wynikiem działania.

W 1984 roku Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)