Przestrzeń metryczna - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę obiektów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice'a Frécheta.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne S.A. – wydawnictwo, które wydaje głównie podręczniki szkolne. Powstało zarządzeniem ministra edukacji narodowej 9 kwietnia 1945 r., jako Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych. Prezesem spółki jest Stanisław Wedler. Od 3 listopada 2004 roku przedsiębiorstwo jest notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie.

Definicja

Niech $X$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką (w zbiorze $X$ ) nazywa się funkcję $d\colon X \times X \to [0, +\infty)$ ,

która dla dowolnych elementów $a, b, c$ tego zbioru spełnia następujące warunki:

identyczność nierozróżnialnych, $d(a, b) = 0 \iff a = b;$

symetria, $d(a, b) = d(b, a);\,$

warunek trójkąta, $d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(c, b).$

Jeśli $d$ jest metryką w zbiorze $X$ , to para $(X, d)$ nazywana jest przestrzenią metryczną.

Uwaga 1.

Niekiedy pomija się warunek nieujemności $d(a, b) \geqslant 0$ przyjmując $d\colon X \times X \to \mathbb R$ zamiast $d\colon X \times X \to [0, +\infty)$ .

Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów: $0 = d(a, a) \leqslant d(a, b) + d(b, a) = 2\cdot d(a,b).$

Uwaga 2.

Zastępując warunek trójkąta warunkiem następującej postaci $d(a, b) \leqslant d(a, c) + d(b, c)$

można wyeliminować aksjomat symetrii. Rzeczywiście, przyjmując w powyższym warunku $c=a$ dostajemy: $d(a, b) \leqslant d(a, a) + d(b, a)=d(b, a)$

podobnie zamieniając $a$ i $b$ oraz przyjmując $c=b$ dostaniemy: $d(b,a) \leqslant d(b,b) + d(a,b)=d(a,b)$

Z powyższych dwóch nierówności wynika $d(a, b) = d(b, a)\,$ .

Przedział wielowymiarowy a. kostka wielowymiarowa – podzbiór wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Przykłady

Niech $\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ oraz $\mathbf y = (y_1, y_2, \dots, y_n)$ będą elementami przestrzeni $\mathbb R^n$ .

Metryka euklidesowa

Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

W przypadku jednowymiarowym metryka euklidesowa może być zadana za pomocą wartości bezwzględnej wzorem $d_e(x, y) = |y - x|.$

Ogólnie, w przestrzeni $\mathbb R^n$ metrykę euklidesową definiuje się wzorem $d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + \dots + (y_n - x_n)^2},$

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

$d_e(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{\langle \mathbf y - \mathbf x, \mathbf y - \mathbf x \rangle},$

Metryka „miasto”

Zielona przekątna — odległość względem metryki euklidesowej ( $\scriptstyle{6\sqrt{2}}$ , tj. ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe — odległość względem metryki miejskiej (12 j.)

Metryka Manhattan, taksówkowa, miejska, wielkomiejska – odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

W przestrzeni $\mathbb R^n$ metryka ta dana jest wzorem $d_m(\mathbf x, \mathbf y) = \sum_{k=1}^n |x_k - y_k|.$

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska. W szczególności, jeśli $n = 2$ , to

Przestrzeń parazwarta – przestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu x przestrzeni X istnieje takie otoczenie otwarte Ux, że Ux ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa "wpisać" w definicji nie można zastąpić słowem "wybrać". Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné w 1944 roku.
Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

$d_m(\mathbf x, \mathbf y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|.$

Metryka maksimum

Zapoznaj się również z: odległość Czebyszewa.

Metryka nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachowa – metryka opisana wzorem $d_\infty(\mathbf x, \mathbf y) = \max_{k=1, \dots, n}~|x_k - y_k|.$

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Metryka kolejowa

Zapoznaj się również z: jeż (topologia).

Metryka kolejowa, centrum, węzła kolejowego, metra paryskiego – metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce jest sumą euklidesowych ich odległości od punktu $\mathbf 0 = (0, 0)$ lub – w przypadku, kiedy prosta łącząca te punkty przechodzi przez punkt $\mathbf 0$ – zwykła euklidesowa odległość.

Nierówność trójkąta – twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta, miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°.
Przestrzenie Lindelöfa - przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy przestrzeń Lindelöfa - niektórzy autorzy (np. Engelking) wymagają dodatkowo by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność.

Wyobraźmy sobie na przykład labirynt, którego korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście z jednego punktu. Wtedy, aby dojść z jednego punktu do drugiego, musimy najpierw dojść do skrzyżowania (centrum), by skręcić w odpowiedni korytarz. Nie będziemy więc pokonywać rzeczywistej odległości między tymi punktami, lecz właśnie taką, jaką dyktuje nam metryka centrum.

Aksjomaty przeliczalności – w topologii ogólnej własności topologiczne służące klasyfikacji przestrzeni topologicznych względem rozmiarów ich charakteru i ciężaru. W tym przypadku nazwa „aksjomat” ma charakter wyłącznie historyczny, dlatego nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.
Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że w zbiorze X istnieje metryka wyznaczająca topologię identyczną z wyjściową topologią przestrzeni X. Jeżeli τ jest topologią w przestrzeni X oraz d jest metryką, która wyznacza topologię τ, to odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem, co oznacza, że przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne. W szczególności, każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Można ją przedstawić jako $d_k(\mathbf x, \mathbf y) = \begin{cases} d_e(\mathbf x, \mathbf y), & \mbox{gdy }\mathbf x, \mathbf y\mbox{ i }\mathbf 0 \mbox{ na jednej prostej;} \\ d_e(\mathbf x, \mathbf 0) + d_e(\mathbf 0, \mathbf y), & \mbox{w przeciwnym przypadku.} \end{cases}$

Metryka „rzeka”

Odległość w metryce rzeka.

Niech pod słowem „rzeka” kryje się ustalona prosta na płaszczyźnie (zazwyczaj $y = 0$ ). Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się w bardzo gęstej dżungli, po której poruszać się można jedynie w kierunkach prostopadłych do rzeki oraz po samej rzece (po tych ścieżkach poruszamy się zgodnie z metryką euklidesową na płaszczyźnie). Tak określona odległość nosi nazwę metryki rzeki.

Niezmiennik topologiczny to wielkość występująca w topologii i fizyce teoretycznej, liczba charakteryzująca rozmaitości topologiczne. Jest to wielkość, która pozostaje stała przy wszystkich dopuszczalnych topologicznie, a więc ciągłych, przekształceniach. Na przykład, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg (czyli okręgu w samego siebie, porównaj homeomorfizm) to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na tak zwana liczbę nawinięć. Jest to liczbę mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych (porównaj homotopia, klasy homotopii).
Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.

Niżej znajduje się wzór opisujący tę metrykę (por. rysunek) $d_r(A, B) = \begin{cases} d_e(A, B), & \mbox{gdy A, B na prostej ortogonalnej do rzeki;} \\ d_e(A , C_1) + d_e(C_1, C_2) + d_e(C_2, B), & \mbox{w przeciwnym wypadku.} \end{cases}$

Metryka dyskretna

Osobny artykuł: przestrzeń dyskretna.

Metryka dyskretna, zerojedynkowa – metryka na dowolnym zbiorze. Odległość między dowolnymi punktami wynosi $0$ , gdy są to te same punkty oraz $1$ w innym przypadku. Przestrzeń metryczną z tą metryką nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną: $d_d(a, b) = \begin{cases} 0, & \mbox{gdy } a = b; \\ 1, & \mbox{gdy } a \ne b. \end{cases}$

Podsumowanie

Dla $n=1$ metryki iniektywna, euklidesowa i Manhattan pokrywają się. Jeżeli $n=2$ , to metryki iniektywna i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Baza przestrzeni topologicznej - dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę - jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.
Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)