Przestrzeń mierzalna - zbiór z określoną rodziną jego podzbiorów (tzw. -ciałem, -algebrą zbiorów) do której należy zbiór pusty oraz dopełnienia wszystkich jej elementów, a ponadto należy do niej suma dowolnej przeliczalnej rodziny jej elementów. Przestrzenie mierzalne / -ciała są obiektami studiowanymi w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Wprowadzenie

Już we wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że przy założeniu aksjomatu wyboru istnieją zbiory na prostej rzeczywistej, dla których nie można określić miary Lebesgue'a; przykładem takiego zbioru jest zbiór Vitalego. Później odkryto, że odrzucenie aksjomatu wyboru, a przyjęcie aksjomatu determinacji gwarantuje mierzalność wszystkich podzbiorów (twierdzenie Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego). Stwierdzono również, że odpowiednie aksjomaty dużych liczb kardynalnych mogą dostarczyć sposobów mierzenia wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej.

Z różnych powodów tego typu dodatkowe założenia mogą nie być pożądane, należy wówczas zaakceptować, że mogą istnieć zbiory tak dziwne, że określenie ich wielkości (tzn. miary) nie jest możliwe. Na ogół takie zbiory nie pojawiają się „nieproszone” i w praktyce matematycznej wystarczające okazuje się ograniczenie do dobrych zbiorów, które powinny być zamknięte na jak najszerszą klasę podstawowych operacji. Za takie uważa się przekrój, sumę, czy też dopełnienie (z tego też powodu w teorii miary większy nacisk kładzie się na operację brania przeciwobrazu, który zachowuje te operacje w przeciwieństwie do operacji brania obrazu; zob. funkcja mierzalna). Z tego powodu zbiór skonstruowany z dobrych zbiorów za pomocą wspomnianych operacji również powinien być dobry. Zaakceptowanie poprzedniego stwierdzenia oznacza (na podstawie zasady indukcji) przyzwolenie na konstruowanie dobrych zbiorów ze skończonej liczby zbiorów połączonych wspomnianymi trzema działaniami. Rodziny tego rodzaju były badane, lecz rezultaty okazały się mało istotne. Dopiero rozszerzenie definicji poprzez zezwolenie na działania nieskończone, ale przeliczalne, doprowadziło do rozkwitu wspomnianych wyżej dziedzin. Pojęcie -ciała może być uznane za abstrakcyjną definicję opisanej wyżej rodziny dobrych zbiorów.