Przestrzeń probabilistyczna - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń probabilistyczna to układ trzech elementów $( \Omega, \mathcal{F}, P )$ , gdzie:

$\Omega$ jest pewnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych,

$\mathcal{F}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $\Omega$ . Elementy tego σ-ciała nazywane są zdarzeniami,

$P \colon \mathcal{F} \rightarrow [0, 1]$ jest miarą probabilistyczną, tzn.

$P(A) \geqslant 0$ dla każdego $A \in \mathcal{F}$ ,

$P(\Omega) = 1$ ,

jeżeli zbiory $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ są parami rozłączne, to

$P \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) .$

Motywacją wprowadzenia pojęcia przestrzeni probabilistycznej była chęć modelowania prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń w doświadczeniach losowych.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Przykłady

Jeśli $\Omega$ jest zbiorem skończonym, to przyjmując $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ (rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $\Omega$ ) oraz funkcję $P$ daną wzorem

$P(A)=\frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}$ dla każdego $A\subseteq \Omega$

otrzymujemy przestrzeń probabilistyczną $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ .

Jeśli $\Omega=[0,1]$ , $\mathcal{F}$ jest rodziną mierzalnych w sensie Lebesgue'a podzbiorów przedziału $[0,1]$ , a $P$ jest miarą Lebesgue'a na tej rodzinie, to odpowiednia trójka jest również przestrzenią probabilistyczną.

Niech $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ jest przestrzenią probabilistyczną oraz $\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}$ jest zmienną losową na tej przestrzeni. Niech $P_\xi$ będzie rozkładem zmiennej losowej $\xi$ , tzn.:

$P_\xi(A) = P(\xi^{-1} (A)), \quad A \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$

gdzie $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ to sigma-ciało zbiorów borelowskich przestrzeni $\mathbb{R}$ . Wówczas $P_\xi$ jest miarą probabilistyczną, wobec tego trójka $(\mathbb{R}, \mathcal{B}_{\mathbb{R}}, P_\xi)$ jest przestrzenią probabilistyczną.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (lub zbiór zdarzeń elementarnych, także przestrzeń próbek), oznaczana tradycyjnie grecką literą Ω, jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.

Zobacz też

przestrzeń mierzalna

prawdopodobieństwo

przestrzeń statystyczna