Przestrzeń spójna - Polski Serwis Naukowy

Spójne i niespójne podprzestrzenie płaszczyzny euklidesowej: przestrzeń A na górze jest spójna; zacieniowania przestrzeń B na dole nie jest.

Przestrzeń spójna – w topologii przestrzeń topologiczna oddająca intuicję „składania się z jednego kawałka”, tzn. niemożność jej rozłożenia na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych. Istnieje silniejsze pojęcie przestrzeni spójnej drogowo, w której dowolne dwa punkty dają się połączyć drogą.

Continuum - w topologii ogólnej, niepusta przestrzeń topologiczna, która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadiczo na dwie klasy:
Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się spójnym, jeżeli jest spójny jako podprzestrzeń tej przestrzeni.

Definicja

Niepustą przestrzeń topologiczną $X$ nazywa się niespójną, jeżeli jest sumą dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych. W przeciwnym przypadku $X$ jest spójna. Podzbiór przestrzeni topologicznej jest spójny, jeśli jest spójny w topologii podprzestrzeni. Dla przestrzeni topologicznej $X$ następujące warunki są równoważne:

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

$X$ jest spójna;

$X$ nie może być rozłożona na dwa rozłączne i niepuste zbiory domknięte;

jedynymi podzbiorami $X$ zarazem otwartymi i domkniętymi (tzw. zbiory otwarto-domknięte) są $X$ i zbiór pusty;

$X$ nie daje się przedstawić jako suma dwóch niepustych zbiorów oddzielonych;

jedynymi funkcjami ciągłymi z $X$ w $\{0, 1\}$ są funkcje stałe.

Spójne składowe

Maksymalne podzbiory spójne dowolnej przestrzeni topologicznej nazywa się spójnymi składowymi lub składowymi spójności tej przestrzeni. Innymi słowy składową zbioru nazywa się taki jego podzbiór, który nie zawiera się w żadnym większym podzbiorze spójnym tego zbioru. Składowe stanowią rozbicie przestrzeni (tzn. są one rozłączne i sumują się do całej przestrzeni). Spójne składowe zbiorów jednopunktowych nazywa się często spójnymi składowymi punktu należącego do takiego zbioru. Każda składowa jest domkniętym podzbiorem oryginalnej przestrzeni. W ogólności składowe nie muszą być otwarte: przykładowo składowymi liczb wymiernych są zbiory jednopunktowe. Jednakże składowe zbiorów otwartych płaszczyzny są otwarte.

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.
Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Niech $\Gamma_x$ będzie spójną składową punktu $x$ przestrzeni topologicznej $X,$ zaś $\Gamma_x'$ oznacza przekrój wszystkich zbiorów otwarto-domkniętych zawierających $x$ (nazywa się go quasi-składową tego punktu). Wówczas $\Gamma_x \subseteq \Gamma'_x.$ Równość zachodzi, jeżeli $X$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa bądź jest lokalnie spójna.

Niespójność

Osobny artykuł: przestrzeń całkowicie niespójna.

Przestrzeń, której wszystkie składowe są zbiorami jednopunktowymi, nazywa się całkowicie niespójną. Przykładami takiej przestrzeni są zbiór liczb naturalnych lub wymiernych z naturalną topologią metryczną (daną jako wartość bezwzględna różnicy). Z całkowitą niespójnością związana jest inna własność: przestrzeń $X$ jest całkowicie oddzielona, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów $x, y$ należących do $X$ istnieją rozłączne otoczenia $U$ punktu $x$ oraz $V$ punktu $y$ takie, że $X$ jest sumą mnogościową $U$ oraz $V.$ Każda przestrzeń całkowicie oddzielona jest całkowicie niespójna; jednak wynikanie w drugą stronę nie zachodzi. Niech dane będą przykładowo dwa egzemplarze liczb wymiernych $\mathbb Q$ utożsamione ze sobą w każdym punkcie poza zerem. Otrzymana przestrzeń, z topologią ilorazową, jest całkowicie niespójna. Rozważając jednak dwa egzemplarze zera widać, że pzrestrzeń nie jest całkowicie oddzielona. Istotnie, nie jest ona nawet Hausdorffa, a warunek całkowitego oddzielenia jest ściśle mocniejszy niż warunek hausdorffowości przestrzeni.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Twierdzenia

Ciągłe przekształcenia zachowują spójność przestrzeni, w szczególności: obrazem przedziału przez ciągłą funkcję zmiennej rzeczywistej w liczby rzeczywiste jest przedział – własność ta, nazywana własnością wartości pośredniej, jest równoważna własności Darboux, tzn. jeżeli rzeczywista funkcja ciągła przyjmuje jako wartości liczby $a, b,$ to przyjmuje także $c$ leżącą miedzy nimi. W ogólności każda funkcja rzeczywista ciągła na przestrzeni spójnej ma własność Darboux.

Przestrzeń dwupunktowa Aleksandrowa (albo przestrzeń Sierpińskiego) – przykład przestrzeni topologicznej podany przez rosyjskiego topologa, Pawła Aleksandrowa.
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Suma dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest zbiorem spójnym. Podobnie iloczyn kartezjański dowolnej rodziny przestrzeni spójnych jest spójny.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)