Przestrzeń topologiczna - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Naturalnym przykładem przestrzeni topologicznej jest dowolna przestrzeń metryczna, w której topologiczna „bliskość” definiowana jest za pomocą metryki: do zbiorów domkniętych należą punkty będące granicami ciągów danego zbioru – prowadzi to do uznania za otwarte zbiorów składających się z wszystkich kul otwartych i ich sum (także przeliczalnych). Przestrzeń topologiczną, w której topologię można uzyskać za pomocą pewnej metryki nazywa się metryzowalną; jak można się domyślać, nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest dużo ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej.

Topologia ilorazowa – dla danej przestrzeni topologicznej oraz relacji równoważności na niej określonej, najsilniejsza topologia na przestrzeni ilorazowej względem której odwzorowanie, przyporządkowujące danemu punktowi przestrzeni jego klasę abstrakcji, jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali po raz pierwszy Robert Lee Moore oraz Paweł Aleksandrow.
Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego).

Wprowadzenie

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować wyłącznie za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo, funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f^{-1}(U)$ dowolnego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty.

W przestrzeni metrycznej kulę otwartą określa się jako zbiór punktów odległych od określonego punktu (tzw. środka) o mniej niż zadana odległość (tzw. promień). Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również przeliczalne) takich kul.

Granica – pojęcie używane w matematyce pojęcie na określenie zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.
prof. Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.

Prosta $\mathbb R$ wyposażona jest w naturalnie określoną odległość nazywaną metryką euklidesową daną wzorem $d(x, y) = |x - y|$

dla dowolnych $x, y \in \mathbb R,$ gdzie $|\cdot|$ oznacza wartość bezwzględną. Kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, a zbiorami otwartymi – ich sumy. Rodzina podzbiorów otwartych prostej rzeczywistej ma szereg własności będących podstawą wielu dowodów, wśród nich pojawiają się m.in.

cała prosta jest zbiorem otwartym;

część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;

suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

W szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
Spektrum pierścienia - dla danego pierścienia przemiennego z jednością A, zbiór Spec(A) złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w A wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

Powyższe obserwacje dotyczące prostej $\mathbb R$ przenoszą się wprost na dowolne przestrzenie metryczne. Łatwo zaobserwować, że podstawowe własności zbiorów otwartych i ich wykorzystanie w wielu rozumowaniach nie ulega zmianie. Często okazuje się jednak, że użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, która do nich prowadzi. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu: jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.
Pierścień topologiczny – w matematyce pierścień z określoną na nim strukturą przestrzeni topologicznej tak, że zarówno działanie dodawania, jak i mnożenia są funkcjami ciągłymi w sensie topologii produktowej.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami, nazywanymi niezmiennikami, są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność (która jest niezmiennikiem metrycznym).

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.

Definicja

Niech dany będzie niepusty zbiór $X,$ który dalej nazywany będzie przestrzenią. Rodzinę zbiorów $\tau$ zawartą w zbiorze potęgowym zbioru $X$ nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli spełnia ona następujące aksjomaty:

$X \in \tau,\varnothing \in \tau$

jeśli $U, V \in \tau,$ to $U \cap V \in \tau$ ,

jeśli $\mathcal A \subseteq \tau$ , to $\bigcup \mathcal A \in \tau.$

Wówczas parę $(X, \tau)$ nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny $\tau$ nazywa się podzbiorami otwartymi, a ich dopełnienia noszą nazwę podzbiorów domkniętych. Oczywiście istnieją zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte; jednak istnieją również zbiory, które są zarazem otwarte jak i domknięte – nazywa się je zbiorami otwarto-domkniętymi.

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

Wnętrze, domknięcie i brzeg

Osobne artykuły: wnętrze, domknięcie i brzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $(X, \tau).$ Niżej $A^\operatorname c$ oznacza dopełnienie zbioru $A.$

Wnętrzem (ang. interior) zbioru $A$ nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w $A,$ $\operatorname{int}\; A := \bigcup \{U \in \tau\colon U \subseteq A\}.$

Domknięcie (ang. closure) zbioru $A$ to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór $A,$

Przestrzeń antydyskretna – w topologii niepusta przestrzeń topologiczna wyposażona w topologię nazywaną antydyskretną bądź trywialną, tzn. zawierającą wyłącznie dwa podzbiory: zbiór pusty i całą przestrzeń; w ten sposób topologia trywialna zawiera najmniejszą możliwą liczbę zbiorów otwartych wymaganą przez definicję przestrzeni topologicznej: za jej przeciwieństwo można uważać przestrzeń dyskretną, w której dowolny zbiór jest otwarty.
Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

$\operatorname{cl}\; A := \bigcap \{F\colon F \supseteq A \and F^\operatorname c \in \tau\}$

Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w tym sensie, iż $\operatorname{cl}\; A = \operatorname{int}(A^\operatorname c)^\operatorname c$

oraz $\operatorname{int}\; A = \operatorname{cl}(A^\operatorname c)^\operatorname c.$

Ponadto wnętrzem zbioru otwartego, jak i domknięciem zbioru domkniętego są te właśnie zbiory. Prowadzi to do następujących charakteryzacji zbiorów otwartych i domkniętych: zbiór jest otwarty (odp. domknięty), jeśli jest równy swemu wnętrzu (odp. domknięciu).

Brzegiem (ang. border, frontier) zbioru $A$ nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru, $\operatorname{bd}\; A \equiv \operatorname{fr}\; A := \operatorname{cl}\; A \setminus \operatorname{int}\; A$

Wszystkie powyższe operacje – wnętrza, domknięcia i brzegu – są idempotentne.

Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).
W topologii, Miotełka Kuratowskiego (lub miotełka Knastera-Kuratowskiego) jest spójną przestrzenią topologiczną taką, że po usunięciu jednego punktu staje się całkowicie niespójna (tzn. nie istnieje składowa spójności zawierająca więcej niż jeden punkt).

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)