Przestrzeń unitarna - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy uogólnienia iloczynu skalarnego na abstrakcyjnie przestrzenie liniowe. Zapoznaj się również z: standardowy iloczyn skalarny w przestrzeniach euklidesowych.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe. Zgodnie z rys. 1 prosta AB jest prostopadła do CD w punkcie B.
Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe, rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.

Formy hermitowskie

Wiele zagadnień matematycznych sprowadza się do rozważania operatorów liniowych zespolonych przestrzeni liniowych (problem ten, jak się później okaże, nie istnieje dla przestrzeni rzeczywistych). Często, pojawia się potrzeba wprowadzenia pojęcia iloczynu skalarnego również dla elementów takich przestrzeni. Niewystarczające są jednak w tym przypadku iloczyny skalarne zdefiniowane jako formy dwuliniowe $B(\mathbf x, \mathbf y)$ , gdyż odpowiadające im formy kwadratowe $\|\mathbf x\|^2 = B(\mathbf x, \mathbf x)$ miałyby własność

Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.
Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

$\|i\mathbf x\|^2 = B(i\mathbf x, i\mathbf x) = i^2 B(\mathbf x, \mathbf x) = -\|\mathbf x\|^2$ ,

co jest sprzeczne z intuicją dotyczącą długości wektora (długość powinna być nieujemna). Stąd zrodziła się potrzeba dokładniejszego zdefiniowania tego, co będzie później nazwane iloczynem skalarnym. Lekarstwem na zaistniałą sytuację było wprowadzenie funkcjonału półtoraliniowego $\varphi$ , który byłby liniowy ze względu na jedną ze współrzędnych, lecz antyliniowy ze względu na drugą, tzn. przykładowo:

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.
Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

$\varphi(\cdot, \mathbf y)$ jest liniowe dla dowolnego $\mathbf y \in V$ , $\varphi(\mathbf x, \cdot)$ jest antyliniowe dla dowolnego $\mathbf x \in V$ .

Formę półtoraliniową $h$ nazywa się hermitowską, jeśli dla dowolnych $\mathbf x, \mathbf y \in V$ spełnia ona równość $h(\mathbf y, \mathbf x) = \overline{h(\mathbf x, \mathbf y)}$ .

Definicja

Rzeczywistą przestrzeń liniową $V$ z dodatnio określonym, niezdegenerowanym, symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym $f$ nazywa się przestrzenią unitarną.

Jeśli $V$ jest natomiast zespoloną przestrzenią liniową, to nazywa się ją przestrzenią unitarną, gdy jest wyposażona w dodatnio określony, niezdegenerowany funkcjonał hermitowski $f$ .

Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

W obu przypadkach wielkość $\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = f(\mathbf x, \mathbf y)$ nazywa się iloczynem skalarnym lub iloczynem wewnętrznym wektorów $\mathbf x$ i $\mathbf y$ . Minimalnym zestawem aksjomatów definiujących iloczyn skalarny $\langle \cdot, \cdot \rangle\colon V \times V \to K$ dla przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych lub zespolonych jest:

sprzężona symetria, $\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = \overline{\langle \mathbf y, \mathbf x \rangle}$ ,

liniowość ze względu na pierwszą zmienną, $\langle a\mathbf x, \mathbf y \rangle = a \langle \mathbf x, \mathbf y \rangle$ , $\langle \mathbf x + \mathbf y, \mathbf z \rangle = \langle \mathbf x, \mathbf z \rangle + \langle \mathbf y, \mathbf z \rangle$

dla dowolnych $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V,\; a, b \in K$ .

niezdegenerowanie,

jeśli $\mathbf x\neq 0$ , to $\langle \mathbf x,\mathbf x \rangle \neq 0$ .

Uwagi

Dla przestrzeni rzeczywistej hermitowskość przechodzi w zwykłą symetrię iloczynu skalarnego, co tłumaczy się faktem, iż sprzężenie zespolone liczby rzeczywistej jest równe jej samej. Półtoraliniowość staje się też wtedy dwuliniowością funkcjonału. Można więc przyjąć wspólną definicję (dla przestrzeni zespolonych), jednak w przypadku przestrzeni rzeczywistych wygodniej mówić jest często o dodatnio określonych funkcjonałach dwuliniowych.

Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną. Stosowany także w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

Istnieje wiele powodów technicznych dla których niezbędnym jest ograniczenie rozważanego ciała do $\mathbb R$ oraz $\mathbb C$ . Co najważniejsze, ciało musi zawierać uporządkowane podciało (aby warunek nieujemności miał sens), a zatem musi mieć charakterystykę równą zeru. Wyklucza to natychmiast ciała skończone, które poza tym muszą mieć dodatkową strukturę, np. wyróżniony automorfizm.

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.
Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Niekiedy istnieje potrzeba rozważania nieujemnych półokreślonych funkcjonałów półtoraliniowych, tzn. $\langle \mathbf x, \mathbf x \rangle$ nie musi być nieujemne. Niżej podano metodę rozwiązującą problem tych przypadków.

Odwzorowanie z $V$ w przestrzeń dualną $V^*$ dane wzorem ${\mathbf x} \mapsto \langle {\mathbf x}, \cdot \rangle$ jest izomorfizmem. Bezpośrednio z liniowości ze względu na pierwszą zmienną wynika, że jest to homomorfizm przestrzeni liniowych. Łatwo sprawdza się, że odwzorowanie to jest również iniektywne: $\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = 0$ dla każdego $\mathbf y \in V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf x = 0$ .

W skończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych warunek ten jest wystarczający do stwierdzenia, iż jest to izomorfizm.

Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Konwencje

Jak już wspomniano iloczyn skalarny jest półtoraliniowy, tzn. liniowy ze względu na jeden i antyliniowy ze względu na drugi argument. Wybór który z argumentów jest liniowy, a który antyliniowy jest całkowicie dowolny i stosuje się obie możliwości. Matematycy zwykle przyjmują antyliniowość ze względu na drugi argument, natomiast fizycy ze względu na pierwszy, co ułatwia im stosowanie notacji Diraca używanej w mechanice kwantowej (umożliwia wyciąganie skalarów z ketów, co reprezentuje wektory, a sprzężenie skalarów przy wyciąganiu z bra reprezentuje funkcjonały liniowe) i używane jest teraz okazjonalnie także przez matematyków. Niektórzy autorzy stosują konwencję, że $\langle \cdot, \cdot \rangle$ oznacza liniowość ze względu na pierwszy argument, zaś $\langle \cdot | \cdot \rangle$ na drugi, choć nie jest to regułą; przykładowo (Emch [1972]) się do niej nie stosuje.

Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Każdemu kątowi można przyporządkować pewną wartość, zwaną miarą kąta. Jednostkami miary kątów są radian (rad), stopień (°), grad (g), minuta (′), sekunda (′′), tercja (′′′) oraz tysiączna. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi.
Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.

Istnieją również inne sposoby zapisu: $(\mathbf x, \mathbf y)$ $(\mathbf x | \mathbf y)$ ,

lub po prostu $\mathbf x \cdot \mathbf y$ ,

która jest oznaczeniem standardowego iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)