Przestrzeń unormowana - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną szczególną własność związaną z ich strukturą metryczną: zupełność.

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.
Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L. Przestrzenie Sobolewa są szereoko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Historycznie to właśnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy, gdy.
Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Odwzorowanie $\|\cdot\|\colon X \to [0, \infty)$ spełniające, dla wszystkich elementów $x,y$ przestrzeni $X$ i skalarów $\alpha$ z ciała $K,$ warunki:

niezdegenerowania, $\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0;$

dodatniej jednorodności, $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|;$

nierówności trójkąta (podaddytywności), $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|;$

nazywa się normą (w przestrzeni $X$ ), a przestrzeń $X$ z określoną normą $\|\cdot\|$ nazywa się przestrzenią unormowaną. Uwagi

Każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek $x = 0 \Rightarrow \|x\| = 0.$ Z tego powodu wielu autorów zamiast pierwszego przyjmuje następujący warunek

Przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła – przestrzeń liniowo-topologiczna, która ma bazę lokalną złożoną ze zbiorów wypukłych. Ze względu na dobre własności jest to ważna klasa przestrzeni liniowo-topologicznych rozważanych w analizie funkcjonalnej.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

niezdegenerowania, $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)