Przestrzeń zwarta - Polski Serwis Naukowy

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna $X$ o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z $X$ ) jest przestrzenią zwartą.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Niektórzy autorzy (jak na przykład Ryszard Engelking) formułują definicję zwartości żądając dodatkowo by rozważana przestrzeń była przestrzenią Hausdorffa. Przestrzenie nie spełniającego tego warunku, a zwarte w sensie powyższej definicji nazywane bywają często przestrzeniami quasizwartymi.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

Czy wiesz że...? beta

Twierdzenie Heinego-Borela charakteryzuje zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie to najprawdopodobniej udowodnił wcześniej Dirichlet, przypisywane jest jednak Heinemu i Borelowi.

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa będąca iloczynem kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych. Różni się ona od być może bardziej oczywistej topologii przedziałowej, również zadawanej na na przestrzeni produktowej, która pokrywa się z topologią produktową, gdy rozważa się produkt skończenie wielu przestrzeni. Topologię produktową uważa się jednak za „prawidłową” z powodu, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.

Topologia podprzestrzeni – w topologii i powiązanych z nią działach matematyki topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.