Punkt stały - Polski Serwis Naukowy

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi. Formalnie:

Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem oraz $f\colon X\to X$ . Punkt $x\in X$ nazywamy punktem stałym odwzorowania $f$ , jeśli $f(x)=x$ . Zbiór punktów stałych oznaczamy $\operatorname{Fix}(f)$ , tj. $\operatorname{Fix}(f)=\{x\in X\colon\; f(x)=x\}$ .

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

Informatyka (łac. informatio - "wyobrażenie", "wizerunek", "pomysł", ang. computer science, computing science, information technology, informatics) – dziedzina nauki i techniki zajmująca się przetwarzaniem informacji – w tym technologiami przetwarzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informacje. Pierwotnie część matematyki, została rozwinięta do osobnej dyscypliny nauki, pozostaje jednak nadal w ścisłym związku z matematyką, która dostarcza jej podstaw teoretycznych.

Układ dynamiczny, model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w automatyce.

szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),

istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,

szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)

pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech $X$ będzie przestrzenią liniową, (np. $\mathbb{R}^n$ lub $\mathbb{C}^n$ ) oraz $F\colon X\to X$ . Punkt $x\in X$ jest rozwiązaniem rozwiązaniem równania $F(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania $f=\mbox{id}-F$ .

Zobacz też

punkt okresowy

własność punktu stałego

teoria punktu stałego

twierdzenia o punkcie stałym

Bibliografia

Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.