Różniczka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy nieskończenie małej zmiany zmiennej niezależnej. Zapoznaj się również z: różniczka funkcji.

Różniczka – w rachunku różniczkowym tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą $x,$ to zmiana jej wartości często oznaczana jest $\Delta x$ lub, gdy zmiana powinna być mała, $\delta x.$ Różniczka $\operatorname dx$ reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Choć nie jest to precyzyjnie sformułowane matematycznie pojęcie, to jest ono niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).
Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Kluczową własnością różniczki jest to, że jeśli $y$ jest funkcją zmiennej $x,$ tj. $y := y(x),$ to różniczka $\operatorname dy$ funkcji $y$ jest związana z $\operatorname dx$ wzorem $\operatorname dy = \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} \operatorname dx,$

gdzie $\tfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx}$ oznacza pochodną $y$ względem $x.$ Wzór ten podsumowuje intuicyjną ideę tego, że pochodna $y$ względem $x$ jest granicą ilorazu różnic $\tfrac{\Delta y}{\Delta x},$ gdy $\Delta x$ staje się nieskończenie małe.

Istnieje kilka możliwości formalizacji pojęcia różniczki:

Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
Rozmaitość algebraiczna - pojęcie matematyczne, z dziedziny geometrii algebraicznej, oznaczające zasadniczo zbiór punktów, których współrzędne spełniają pewien układ równań wielomianowych.

różniczki są przekształceniami linowymi – podejście to leży u podstaw definicji pochodnej i pochodnej zewnętrznej w geometrii różniczkowej;

różniczki jako elementy nilpotentne pierścienia przemiennego – to podejście jest popularne w geometrii algebraicznej;

różniczki w gładkich modelach teorii mnogości – to podejście znane jest jako syntetyczna geometria różniczkowa (ang. synthetic differential geometry) bądź gładka analiza nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis) i jest blisko związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee teorii toposów służą ukryciu mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych;

różniczki jako nieskończenie małe w systemach liczb hiperrzeczywistych, które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby – jest to podejście spotykane w analizie niestandardowej, w którym pionierem był Abraham Robinson.

Podejścia te bardzo się od siebie różnią, jednak dzielą ze sobą wspólną ideę ilościowości, tzn. nie mówi tylko, że różniczka jest nieskończenie mała, ale mówi jak mała ona jest.

Kategoria – pojęcie wyodrębniające szereg algebraicznych własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu (zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp.) pod warunkiem, że te rodziny zawierają odwzorowanie tożsamościowe i są zamknięte względem kolejnego wykonywania superpozycji (lub iloczynu) odwzorowań. Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w pracy Eilenberga i Mac Lane.
Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Historia i wykorzystanie

Nieskończenie małe wartości odgrywały istotną rolę w rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego. Wykorzystywane były już przez Archimedesa, choć on sam wątpił, czy ich użycie jest ściśle poprawne. Bhāskara II opracował pojęcie różniczki reprezentującej nieskończenie małą zmianę, a Sharaf al-Dīn al-Tūsī używał ich do wyznaczania pochodnych wielomianów kwadratowych. Isaac Newton nazywał je fluksjami. Stosowaną współcześnie nazwę różniczki na oznaczenie nieskończenie małej zmiany zmiennej wprowadził Leibniz, który upowszechnił także ich oznaczenia stosowaną do dziś.

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

W notacji Leibniza dla zmiennej wartości $x$ jej nieskończenie małą zmianę oznacza się w postaci dx. Jeśli zatem y jest funkcją x, to pochodną y po x oznacza się często $\tfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx}$ , co może być także zapisane (w notacji Newtona lub Lagrange'a) ẏ oraz $y'(x)$ . Wykorzystanie różniczek w tej formie spotkało się z dużą krytyką, czego przykładem może być pamflet The Analyst biskupa Berkeley. Mimo to notacja ta dalej jest popularna, gdyż wskazuje, że pochodną funkcji $y(x)$ jest nachylenie jej wykresu w tym punkcie, czyli granica stosunku $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , inaczej mówiąc zmiana w y do zmiany w x, gdy zmiana w x staje się nieskończenie mała. Użycie różniczek jest także zgodne z analizą wymiarową, gdzie różniczka dx ma ten sam wymiar, co zmienna x.

Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.
Odwzorowanie styczne jest pojęciem matematycznym, dotyczącym geometrii różniczkowej, stanowiącym uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe

Różniczki stosuje się także w zapisie całek, gdyż mogą być one postrzegane jako nieskończone sumy nieskończenie małych wartości: pole obszaru pod wykresem uzyskuje się przez jego podział na nieskończenie cienkie paski, a następnie ich zsumowanie. W wyrażeniu takim jak $\int f(x) \, \operatorname dx,$

znak całki (odpowiadający w istocie ręcznie pisanemu długiemu s) oznacza sumę nieskończoną, zaś różniczka dx ma oznaczać nieskończenie małe przyrosty x.

Abraham Robinson (ur. 6 października 1918 w Wałbrzychu, zm. 11 kwietnia 1974) – matematyk, najbardziej znany jako autor analizy niestandardowej, w której do sytemu liczb włączył wartości nieskończenie duże i nieskończenie małe, definiując zbiór liczb hiperrzeczywistych.
Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Różniczki jako przekształcenia liniowe

Istnieje prosty sposób formalizacji różniczek poprzez postrzeganie ich jako przekształcenia liniowe. Jednym ze sposobów wyjaśnienia tego punktu widzenia jest rozumienie zmiennej $x$ w wyrażeniu w rodzaju $f(x)$ jako funkcji na prostej rzeczywistej, standardowej współrzędnej lub odwzorowania tożsamościowego, które przekształca liczbę rzeczywistą $p$ w siebie, tzn. $x(p) = p\colon$ wówczas $f(x)$ oznacza złożenie $f \circ x$ funkcji $f$ oraz $x,$ której wartością w punkcie $p$ jest $f\bigl(x(p)\bigr).$ Różniczka $\operatorname df$ jest wówczas funkcją określoną na prostej rzeczywistej, której wartość w $p,$ oznaczana zwykle $\operatorname df_p,$ nie jest liczbą, lecz przekształceniem liniowym z $\mathbb R \to \mathbb R.$ Ponieważ takie przekształcenia liniowe są dane za pomocą macierzy typu 1×1, to ma ona w istocie te same własności co liczba; jednak zmiana punktu widzenia pozwala na patrzenie na $\operatorname df_p$ jako na nieskończenie małą i porównanie jej ze standardową nieskończenie małą $\operatorname dx_p,$ która także jest przekształceniem tożsamościowym $\mathbb R \to \mathbb R,$ czyli macierzą typu 1×1 o jednym elemencie. Postrzeganie odwzorowania liniowego jako nieskończenie małej może wydawać się wymyślne, jednak podejście to ma przynajmniej tę własność, iż jeśli $\varepsilon$ jest bardzo mały, to $\operatorname dx_p(\varepsilon)$ również jest bardzo małe. Różniczka $\operatorname df_p$ ma tę samą własność, gdyż jest to tylko wielokrotność $\operatorname dx_p,$ którą z definicji jest pochodna $f'(p).$ W ten sposób otrzymuje się, że $\operatorname df_p = f'(p)\, \operatorname dx_p,$ a stąd $\operatorname df = f'\, \operatorname dx.$ . W ten sposób zachowuje się ideę, iż $f'$ jest stosunkiem różniczek $\operatorname df$ oraz $\operatorname dx.$

Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.
Logika (gr. λόγος, logos - rozum) nauka normatywna, analizująca źródła poznania pod względem prawomocności czynności poznawczych z nimi związanych. Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika, jako dyscyplina normatywna, nie tylko opisuje jak faktycznie przebiegają rozumowania, ale także formułuje twierdzenia normatywne, mówiące o tym, jak rozumowania powinny przebiegać.

Byłaby to tylko sztuczka, gdyby nie fakt, iż:

ujmuje pomysł, że pochodna $f$ w punkcie $p$ jest najlepszym przybliżeniem liniowym $f$ w punkcie $p;$

ma wiele uogólnień.

Przykładowo, jeśli $f$ jest funkcją $\mathbb R^n \to \mathbb R,$ to mówi się, że jest ona różniczkowalna w punkcie $\mathrm p \in \mathbb R^n,$ gdy istnieje takie przekształcenie liniowe $\operatorname df_\mathrm p$ przestrzeni $\mathbb R^n$ w $\mathbb R,$ że dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje otoczenie $N_\mathrm p$ punktu $\mathrm p,$ że dla $x \in N_\mathrm p$ zachodzi

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.
Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.

$\bigl|f(\mathrm x) - f(\mathrm p) - \operatorname df_\mathrm p(\mathrm x - \mathrm p)\bigr| < \varepsilon |\mathrm x - \mathrm p|.$

Można teraz zastosować tę samą metodę, co w przypadku jednowymiarowym i pomyśleć o wyrażeniu $f(x^1, x^2, \dots, x^n)$ jako o złożeniu $f$ ze współrzędnymi standardowymi $(x^1, x^2, \dots, x^n)$ na $\mathbb R^n$ tak, że $x^j(\mathrm p)$ jest $j$ -tą składową $\mathrm p \in \mathbb R^n.$ Wówczas różniczki $(\operatorname dx^1)_\mathrm p,\; (\operatorname dx^2)_\mathrm p,\; \dots,\; (\operatorname dx^n)_\mathrm p$

w punkcie $\mathrm p$ tworzą bazę przestrzeni liniowej przekształceń liniowych $\mathbb R^n \to \mathbb R$ i wtedy, jeśli $f$ jest różniczkowalna w $\mathrm p,$ można zapisać $\operatorname df_\mathrm p$ jako kombinację liniową elementów bazowych: $\operatorname df_\mathrm p = \sum_{j=1}^n \operatorname D_j f(\mathrm p)\, (\operatorname dx^j)_\mathrm p.$

Współczynniki $\operatorname D_j f(\mathrm p)$ są (z definicji) pochodnymi cząstkowymi $f$ w punkcie $\mathrm p$ względem $x^1, x^2, \dots, x^n.$ Stąd, jeżeli $f$ jest różniczkowalna na całej przestrzeni $\mathbb R^n,$ to można napisać zwięźlej:

Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.
Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

$\operatorname df = \frac{\partial f}{\partial x^1}\, \operatorname dx^1 + \frac{\partial f}{\partial x^2}\, \operatorname dx^2 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x^n}\, \operatorname dx^n.$

W przypadku jednowymiarowym powyższa równość ma postać $\operatorname df = \frac{\operatorname df}{\operatorname dx}\operatorname dx$

jak wyżej.

Pomysł ten uogólnia się w jakobianie (i ogólniej pochodnej Frécheta) wprost na funkcje $\mathbb R^n \to \mathbb R^m.$ Co więcej, definicja ta ma decydującą przewagę nad innymi definicjami pochodnej w tym, iż jest niezmiennicza ze względu na zmianę współrzędnych. Oznacza to, że w ten sam sposób można zdefiniować różniczkę odwzorowania gładkiego między rozmaitościami gładkimi.

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.
Warunek wystarczający a. dostateczny — każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.

Uwaga Istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji $f(x)$ w punkcie $x$ jest warunkiem koniecznym istnienia różniczki w $x,$ nie jest to jednak warunek dostateczny; zob. kontrprzykłady w artykule pochodna Gâteaux.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)