Różniczka Frécheta - Polski Serwis Naukowy

Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji między przestrzeniami unormowanymi (w szczególności między przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywana w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta.

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Operator liniowy ograniczony T to taki operator liniowy pomiędzy unormowanymi przestrzeniami X i Y, że istnieje pewna liczba nieujemna C, która dla każdego x należącego do X spełnia

W analizie funkcjonalnej spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.

Definicja

Niech $V$ i $W$ będą przestrzeniami unormowanymi, $U$ będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni $V$ . Funkcję $f\colon U \to W$ nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie $x \in U$ , jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy $\operatorname A_x\colon V \to W,$

że

Holomorficzność nieskończeniewymiarowa – dział analizy funkcjonalnej, gałęzi matematyki badający uogólnienia funkcji holomorficznych na funkcje określone na zespolonych przestrzeniach Banacha (lub ogólniej: przestrzeniach Frécheta), najczęściej nieskończonego wymiaru, i przyjmujące w nich wartości. Można uważać jąza część nieliniowej analizy funkcjonalnej.
Przekształcenie wieloliniowe - odwzorowanie produktu przestrzeni liniowych, które jest liniowe ze względu na każdą zmienną. Odwzorowanie w ciało nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny nazywa się formami wieloliniowymi.

$\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\|f(x + h) - f(x) - \operatorname A_x(h)\bigr\|_W}{\|h\|_V} = 0.$

W przypadku, gdy funkcja $f$ jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy $\operatorname A_x$ spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji $f$ w punkcie $x$ i oznacza $\mathrm Df(x).$ Odwzorowanie $\mathrm Df\colon V \to L(V, W)$ dane wzorem $x \mapsto \mathrm Df(x)$ we wszystkich punktach $x,$ w których $f$ jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji $f,$ gdzie $L(V, W)$ oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych $V \to W.$

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.

Równoważnie, funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy $\operatorname A_x\colon V \to W$ oraz funkcja $r_f(x, \cdot)\colon\ U\setminus\{x\} \to Y$ , dla których $f(x + h) - f(x) = \operatorname A_x(h) + r_f(x, h),$

oraz $\lim_{h\to 0}\frac{r_f(x, h)}{\|h\|_V} = 0.$

Funkcję $f$ różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru $U$ i której pochodna $\operatorname Df(x)$ jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru $U$ nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy $\operatorname C^1.$ Jeśli $f$ jest funkcjonałem, to różniczkę $\operatorname A_x$ będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją $f$ w punkcie $x$ i oznacza symbolem $\delta f.$

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

Otwartość dziedziny a różniczkowalność

Założenie otwartości zbioru $U$ w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia można zobrazować następująco: zbiór $V = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x = y\}$

jest domkniętym podzbiorem przestrzeni $\mathbb R^2$ . Gdyby funkcja $f$ , określona na płaszczyźnie, dana wzorem $f(x, y) = x + y.$

była różniczkowalna punkcie $(x, y)$ , to wówczas

Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, liniowe względem obu współrzędnych.
Przekształcenie liniowe nieciągłe – w analizie funkcjonalnej, przekształcenie liniowe (operator liniowy), które nie ciągłe. Przekształcenia tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż przekształcenia liniowe stanowią klasę funkcji, w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta) należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej.

$f(x + h, y + k) - f(x, y) \approx \tfrac{\partial f}{\partial x} h + \tfrac{\partial f}{\partial y} k = h + k.$

Punkty $(x + h, y + k)$ i $(x, y)$ należą do zbioru $V$ tylko, gdy $h = k$ , co pociąga za sobą, iż pochodna $f$ w punkcie $(x, y)$ jest postaci $[1 + a, 1 - a]$ , gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Własności

Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli $f$ i $g$ są dwoma przekształceniami $V \to W$ różniczkowalnymi w $x,$ zaś $\sigma$ i $\tau$ są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa $\sigma f + \tau g$ jest różniczkowalna w $x,$ przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:

Funkcjonał – odwzorowanie określone na pewnej przestrzeni (przestrzeni funkcji, przestrzeni liniowej, σ-ciele) o wartościach w ciele liczbowym. Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym. W kontekście przestrzeni liniowych i modułów używa się także określenia forma.
Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

$\operatorname D(\sigma f + \tau g)(x) = \sigma \operatorname Df(x) + \tau \operatorname Dg(x).$

W kontekście tym poprawna jest również reguła łańcuchowa zwana również twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli $f\colon U \to Y$ jest różniczkowalna w $x$ należącym do $U,$ zaś $g\colon Y \to W$ jest różniczkowalna w $y = f(x),$ to złożenie $g \circ f$ jest różniczkowalne w $x,$ a jego pochodna jest złożeniem pochodnych: $\operatorname D(g \circ f)(x) = \operatorname Dg\bigl(f(x)\bigr) \circ \operatorname Df(x).$

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału $f$ w punkcie $x_0$ jest $\delta f(x_0) = 0.$ Otóż skoro $\varepsilon(x_0, h) \to 0$ dla $\|h\| \to 0,$ to $\Delta f(x_0) = f(x_0 + h) - f(x_0)$ dla dostatecznie małych $\|h\|$ jest określony przez znak $\delta f.$ Gdyby $\Delta f \ne 0,$ to z liniowości $\delta f$ wynika, że dla małych $\|h\|$ znak $\Delta f$ może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie $x_0$ istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od $f(x_0),$ a więc $f$ nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.

Jean Alexandre Eugène Dieudonné (ur. 1 lipca 1906 w Lille - zm. 29 listopada 1992 w Nicei) – francuski matematyk, członek grupy Nicolas Bourbaki. Zajmował się m.in.algebrą i analizą funkcjonalną.
Funkcjonał liniowy (forma liniowa, kowektor) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)