Równania Hamiltona - Polski Serwis Naukowy

Równania Hamiltona - w mechanice teoretycznej układ równań opisujących zmianę parametrów układu opisywanego za pomocą funkcji Hamiltona (pędów i położeń cząstek). Jest to układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Dla hamiltonianu postaci:

$H = H(p_{1}, \ldots, p_{s}, q_{1}, \ldots, q_{s}, t)$

Położenie - wielkość fizyczna określająca umiejscowienie danego ciała w przestrzeni. Położenie jest określane względem wybranego układu współrzędnych. Wielkość ta, w zależności od kontekstu, w jakim jest użyta, może występować jawnie jako wektorowa wielkość fizyczna określająca kierunek i odległości danego obiektu od wybranego punktu odniesienia, będącego przeważnie początkiem układu współrzędnych. Wówczas wektor punktu odniesienia do tego ciała nosi nazwę wektora wodzącego.

Tor ruchu (trajektoria) w kinematyce - krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.

gdzie:

$p_{i}$ - i-ty pęd uogólniony

$q_{i}$ - i-ta współrzędna uogólniona

s - liczba stopni swobody układu równa ilości pędów i współrzędnych uogólnionych

Układ równań Hamiltona ma postać:

$\left\{ \begin{matrix} \dot{p}_{i} = \displaystyle- \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\\ \dot{q}_{i} = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\\ \end{matrix} \right. \quad i=1, \ldots, s$

Jeśli zaś przy zapisie użyć nawiasów Poissona, układ wygląda bardziej symetrycznie:

$\left\{ \begin{matrix} \dot{p}_{i} = \displaystyle \{q_{i},H\}\\ \dot{q}_{i} = \displaystyle \{p_{i},H\}\\ \end{matrix} \right. \quad i=1, \ldots, s$

Układ fizyczny - układ (wyodrębniony, realnie lub jedynie myślowo, fragment rzeczywistości), w postaci obiektu fizycznego lub zbioru takich obiektów. Może on być oddzielony od otoczenia wyraźnymi granicami, które są powierzchniami nieciągłości określonych wielkości fizycznych, charakteryzujących układ. W znaczeniu używanym w mechanice klasycznej to przede wszystkim zbiór ciał.

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

Zbiór funkcji $\{p_{1}(t), \ldots, p_{s}(t), q_{1}(t), \ldots, q_{s}(t)\}$ spełniających powyższy układ równań dla zadanych warunków początkowych (lub brzegowych) nazywamy trajektorią.

Równania Hamiltona są innym zapisem równań ruchu w mechanice Newtona oraz równań Eulera-Lagrange'a w mechanice Lagrange'a.