Równanie - matematyka - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: równanie reakcji w chemii.

Równanie – forma zdaniowa postaci $t_1=t_2$ , gdzie $t_1, t_2$ są termami i przynajmniej jeden z nich zawiera pewną zmienną. Równanie jest więc formułą atomową z co najmniej jedną zmienną wolną. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np. $0$ , czyli gdy jest postaci $t_1=0$ .

Równość to relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości a = b jest to, że dla dowolnej funkcji f zachodzi:
Zmienna – symbol, oznaczający wielkość, która może przyjmować rozmaite wartości. Wartości te na ogół należą do pewnego zbioru, który jest określony przez naturę rozważanego problemu. Zbiór ten nazywamy zakresem zmiennej.

Zmienne równania oznacza się zwykle symbolami literowymi i nazywa niewiadomymi.

Dziedzina i rozwiązania równania

Zbiór wszystkich wartości, które po podstawieniu pod niewiadome czynią z formuły zdanie logiczne, nazywa się dziedziną równości.

Dany ciąg wartości spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu ich w miejsce niewiadomych otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe. Ciąg tych wartości nazywa się rozwiązaniem równania.

Rozwiązywaniem równania nazywa się proces wyznaczania wszystkich jego rozwiązań. Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym, jeżeli ma ono tylko jedno rozwiązanie, to nazywa się je oznaczonym, jeżeli ma ich nieskończenie wiele, to jest to równanie nieoznaczone. Równanie, które dla dowolnych wartości z dziedziny podstawionych w miejsce nierówności ma rozwiązanie nazywa się równaniem tożsamościowym lub tożsamością.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.
Metoda (eliminacji) Gaussa – jedna z najszybszych metod rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika. Metoda Gaussa używa operacji elementarnych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Przypadkami szczególnymi równań są równania postaci $f(x) = 0$ , gdzie $f$ jest dowolną funkcją. Wówczas pierwiastki tego równania z definicji są miejscami zerowymi tej funkcji. Jeżeli $f$ jest wielomianem, to twierdzenie Bézouta mówi, iż pierwiastek wielomianu jest zarazem miejscem zerowym, czyli rozwiązaniem odpowiedniego równania algebraicznego.

Równanie diofantyczne (od matematyka Diofantosa) to równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.
Miejsce zerowe – w matematyce argument funkcji, dla którego przyjmuje ona wartość zerową. Czasem miejsce zerowe nazywa się w skrócie zerem funkcji bądź jej pierwiastkiem.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)