Równanie Clapeyrona - stan gazu doskonałego

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem

Benoît Paul Émile Clapeyron (ur. 26 lutego 1799 w Paryżu, zm. 28 stycznia 1864 tamże) – fizyk i matematyk francuski. Jeden z twórców podstaw współczesnej termodynamiki, profesor uczelni inżynieryjnych, projektant urządzeń kolejowych oraz członek Francuskiej Akademii Nauk.

Równanie stanu jest związkiem między parametrami (funkcjami stanu) układu termodynamicznego, takimi jak ciśnienie P, gęstość masy ρ (w przypadku relatywistycznym gęstość masy-energii i gęstość numeryczna cząstek), temperatura T, entropia s, energia wewnętrzna u, który można zapisać w postaci następującego równania:

$pV = nRT \,$

gdzie:

p – ciśnienie

V – objętość

n – liczba moli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek (ilości) rozważanego gazu)

T – temperatura (bezwzględna), T [K] = t [°C] + 273,15

R – uniwersalna stała gazowa: R = NAk, gdzie: NA – stała Avogadra (liczba Avogadra), k – stała Boltzmanna, R = 8,314 J/(mol·K)

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

Objętość jest miarą przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm3 = 0,001 m³).

gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia w którym się znajdują;
brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
objętość (rozmiary) cząsteczek jest pomijana;
zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu.

Przemiana izobaryczna to proces termodynamiczny, podczas którego ciśnienie układu nie ulega zmianie, natomiast pozostałe parametry termodynamiczne czynnika mogą się zmieniać. Procesy izobaryczne mogą zachodzić zarówno w sposób odwracalny, jak i nieodwracalny. Odwracalny proces izobaryczny przedstawia na wykresie krzywa zwana izobarą. Praca wykonana przez układ (lub nad układem) w odwracalnym procesie izobarycznym jest równa ubytkowi (lub przyrostowi) entalpii układu. W szczególności, gdy jedyny wkład do pracy stanowi praca objętościowa (polegająca na zmianie objętości układu), jest ona wyrażona wzorem

Przemiana izochoryczna – proces termodynamiczny zachodzący przy stałej objętości (V = const). Oprócz objętości wszystkie pozostałe parametry termodynamiczne mogą się zmieniać.

Wyprowadzenie

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu poprzez podanie 3 zmiennych np. T, P, V. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych tj. p = p(T,V). Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia dp jako

Ciśnienie to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa, co przedstawia zależność:

Przemiana izotermiczna - w termodynamice przemiana, zachodząca przy określonej, stałej temperaturze. Krzywa opisująca przemianę izotermiczną nazywana jest izotermą.

$\operatorname{d}p={{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_{V}}\operatorname{d}T+{{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_{T}}\operatorname{d}V$

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Charles (izochoryczna przemiana Charlesa) i podał równanie jej równanie w postaci $p=kT\,$

skąd wynika

Przemiana politropowa – proces termodynamiczny w gazie doskonałym, czyniący zadość równaniu politropy, tzn. taki, podczas którego jest spełniony następujący związek:

Atmosfera fizyczna (atmosfera normalna, atm) – pozaukładowa jednostka miary ciśnienia, równa ciśnieniu 760 milimetrom słupa rtęci w temperaturze 273,15 K (0°C), przy normalnym przyspieszeniu ziemskim.

${{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}T} \right)}_{V}}=k=\frac{p}{T}$

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyla i Mariotta (izotermiczna przemiana Boyla i Mariotta) wzorem $p=\frac{l}{V}$

gdzie l to stała. Z równania tego wynika, że ${{\left( \frac{\operatorname{d}p}{\operatorname{d}V} \right)}_{T}}=-\frac{l}{{{V}^{2}}}=-\frac{p}{V}$

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na dp $\operatorname{d}p=\frac{p}{T}\operatorname{d}T-\frac{p}{V}\operatorname{d}V$

Dzieląc to równanie przez p można rozdzielić zmienne

Wirialne równanie stanu gazu opisuje stan gazu rzeczywistego. Ma postać szeregu potęgowego (Kamerlingha - Onnesa), którego pierwszy człon stanowi równanie stanu gazu doskonałego. Z reguły równanie to jest podane dla 1 mola gazu, a więc zamiast objętości w równaniu pojawia się objętość molowa gazu .

Stała Avogadra, inaczej liczba Avogadra, to liczba atomów, cząsteczek lub innych cząstek materii w jednym molu substancji złożonej z tychże atomów lub cząsteczek. Oznaczana przez NA (lub L - lepiej unikać ze względu na tak samo oznaczaną stałą Loschmidta), wynosi[1]:

$\frac{\operatorname{d}p}{p}=\frac{\operatorname{d}T}{T}-\frac{\operatorname{d}V}{V}$

Po wycałkowaniu $\ln p=\ln T-\ln V+C\,$

Stałą całkowania C można zapisać przy pomocy innej stałej R $C=\ln R\,$

wówczas, ponieważ funkcja ln jest różnowartościowa $pV=RT\,$

Rozumowanie łatwo można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu n. Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V = nRT/p).

w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n = pV/RT)

n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierał na jego ścianki zawsze jednakowe ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p = nRT/V).

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Równanie Clapeyrona opisuje przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rosja, Federacja Rosyjska (. Rosja jest największym państwem na świecie według powierzchni, jej terytorium jest większe od kontynentu: Europy, Australii i Antarktydy. Pod względem liczby ludności zajmuje 9. miejsce (po Chinach, Indiach, USA, Indonezji, Brazylii, Pakistanie, Bangladeszu i Nigerii).

Gaz rzeczywisty – pojęcie termodynamiczne oznaczające gaz, który nie zachowuje się ściśle zgodnie z prawami ustalonymi dla gazu doskonałego. W praktyce są to wszystkie gazy istniejące w realnym świecie, aczkolwiek przybliżenie gazu doskonałego może w wielu warunkach być do nich z powodzeniem zastosowane. Przybliżenie to zawodzi jednak w skrajnych warunkach, oraz gdy istnieje potrzeba dokonania bardzo dokładnych obliczeń w warunkach zbliżonych do normalnych.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

Przemiany termodynamiczne

przemiana izobaryczna (stałe ciśnienie p = const)

przemiana izotermiczna (stała temperatura T = const)

przemiana izochoryczna (stała objętość V = const)

przemiana adiabatyczna (brak wymiany ciepła z otoczeniem Q = 0)

przemiana politropowa (pV = const, gdzie n – wykładnik politropy)

Zobacz też

termodynamika

Linki zewnętrzne

applet Java obrazujący działanie przemian gazu doskonałego

Termodynamika - nauka o energii, dział fizyki zajmujący się badaniem energetycznych efektów wszelkich przemian fizycznych i chemicznych, które wpływają na zmiany energii wewnętrznej analizowanych układów. Wbrew rozpowszechnionym sądom termodynamika nie zajmuje się wyłącznie przemianami cieplnymi, lecz także efektami energetycznymi reakcji chemicznych, przemian z udziałem jonów, przemianami fazowymi, a nawet przemianami jądrowymi i energią elektryczną.

Równanie Clausiusa-Clapeyrona opisuje zależność między zmianą ciśnienia a zmianą temperatury wzdłuż krzywej fazowej przemiany fazowej dla układu jednoskładnikowego: