Równanie ciągłości - Polski Serwis Naukowy

Równanie ciągłości jest matematyczną postacią prawa zachowania dla ośrodków ciągłych.

Ma liczne zastosowania, np. do wyrażenia zasady zachowania ładunku, zasady zachowania masy.

Zasada zachowania ładunku

Równanie ciągłości dla elektromagnetyzmu jest matematyczną postacią zasady zachowania ładunku i wyraża się wzorem: $\nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \varrho \over \partial t}$

czyli dywergencja gęstości prądu jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku .

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Prawa zachowania – prawa fizyki stwierdzające, że w układach fizycznych izolowanych od otoczenia określone wielkości fizyczne pozostają stałe. Istnieją zarówno zasady zachowania obowiązujące bezwzględnie, jak i zasady zachowania słuszne tylko dla niektórych procesów.

Wzór powyższy można tłumaczyć w następujący sposób – różnice w gęstości prądu wypływającego z pewnej objętości powodują zmniejszania się gęstości ładunku w tej objętości.

Mówiąc prościej: źródłem prądu są poruszające się ładunki.

Tensorowe równanie ciągłości

Oznaczając $x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z\;$ , oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego, z poprzedniego równania otrzymujemy:

Gęstość ładunku elektrycznego jest to ilość ładunku elektrycznego przypadająca na jednostkę wymiaru przestrzennego. W zależności od kształtu naelektryzowanego ciała stosuje się różne definicje gęstości ładunku:

Prawo zachowania masy – prawo przyrody opisujące zachowanie (pozostawanie stałą) wielkości fizycznej - masy w układzie zamkniętym i układzie izolowanym podczas przemian i oddziaływań fizycznych oraz reakcji chemicznych.

${{\partial c\rho}\over{\partial ct}}+{{\partial J_x}\over{\partial x}}+{{\partial J_y}\over{\partial y}}+{{\partial J_z}\over{\partial z}}=0$ ,

co w notacji Einsteina można zapisać w postaci zwartej: ${{\partial J^{\mu}}\over{\partial x^{\mu}}}=0$

Zasada zachowania masy

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór w postaci różniczkowej: ${\partial \varrho \over \partial t} + \nabla \cdot (\varrho \mathbf{u}) = 0$

gdzie: ρ – gęstość płynu, u – prędkość płynu, t – czas.

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej $\frac{d}{dt}\int_V \rho dV = -\int_V \nabla\cdot(\rho \vec{u})dV$

Bibliografia

David J. Griffiths,Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006.