Równanie falowe - Polski Serwis Naukowy

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest: $\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{cases}$

gdzie $\mathbb{R}_{+}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. W równaniu funkcja $u(x,t)$ jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie $x$ w chwili $t$ . Zadane są początkowe położenie fali $f$ oraz początkowy impuls $g$ . Fizycznie stała $c$ oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol $\triangle_{x}$ to Laplasjan.

Fala - zaburzenie rozprzestrzeniające się w ośrodku lub przestrzeni. Fale przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii. W przypadku fal mechanicznych cząstki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi.

Zagadnienie poprawnie postawione (dobrze postawione) to zagadnienie fizyczne lub matematyczne opisane przez układ równań różniczkowych cząstkowych i zachowujące się dobrze w zastosowaniach praktycznych.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta: $\square u (x, t) = 0$

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki $n=1,2,3$ .

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie'a: $e^{i(Et-\omega{}p)/\hbar{}}$

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Amplituda w ruchu drgającym i w ruchu falowym jest to największe wychylenie z położenia równowagi. Jednostka amplitudy zależy od rodzaju ruchu drgającego: dla drgań mechanicznych jednostką może być metr, jednostka gęstości lub ciśnienia (np. dla fali podłużnej); dla fali elektromagnetycznej tą jednostką będzie V/m.

Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej sformułowane przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

Rozwiązania równania falowego

Równanie struny i wzór d'Alemberta

Jednowymiarowe ( $n=1$ ) równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać: $\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{cases}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest: $u(x,t) = \alpha(x-ct)+\beta(x+ct),$

gdzie $\alpha, \beta$ są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności $f\in C^2(\mathbb{R}), g\in C^1(\mathbb{R})$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest: $u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz}$

Jest to 'wzór d'Alemberta'. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Gustav Robert Kirchhoff (ur. 1824, zm. 1887) – niemiecki fizyk, twórca podstawowego prawa promieniowania cieplnego oraz praw dotyczących obwodów elektrycznych (pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa). Razem z Robertem W. Bunsenem odkryli cez i rubid, wynaleźli spektroskop, a także opracowali metody analizy spektralnej.

Równanie struny półnieskończonej

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego: $u(0,t) = 0$ dla dowolnego $t\in\mathbb{R}$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest: $\begin{cases} u(x, t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{x-ct}^{x+ct}{g(z)dz},& x \geqslant{}ct \\ u(x, t) = \frac{f(x+ct)-f(ct-x)}{2} + \frac{1}{2c} \int\limits_{ct-x}^{ct+x}{g(z)dz},& x < ct \end{cases}$

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa

Równanie falowe dla $n=3$ ma postać $\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= 0, & u:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R} \\ u(x,0) = f(x), & f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = g(x), & g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \end{cases}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności $f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3)$ rozwiązaniem jest: $4\pi{}c^2{}\cdot{}u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\frac{1}{t}\int\limits_{S^2(x,ct)}{f(z)d\sigma(z)}\big) + \frac{1}{t} \int\limits_{S^2(x,ct)}{g(z)d\sigma(z)}$

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona

Równanie falowe dla $n=2$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności $f\in{}C^3(\mathbb{R}^3), g\in{}C^2(\mathbb{R}^3)$ rozwiązaniem jest: $2\pi{}c \cdot u(x,t) = \frac{\partial}{\partial t}\big(\int\limits_{D(x,ct)}{\frac{f(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2{}t^2 - |z-x|^2}}}\big) + \int\limits_{D(x,ct)}{\frac{g(z)d\sigma(z)}{\sqrt{c^2 t^2 - |z-x|^2}}}$

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci: $\begin{cases} \frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u - c^2 \cdot \triangle_{x} u= h(x,t), & u:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to{} \mathbb{R}, x\in\mathbb{R}^n, t\in\mathbb{R}_{+} \\ u(x,0) = 0, & \\ \frac{\partial{}}{\partial t}u(x,0) = 0, & \end{cases}$

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest: $4\pi{}c^2 u(x,t) = \int\limits_{0}^{ct}{dr \int\limits_{S^2(x,r)}{h(z, t-\frac{r}{c})} d\sigma(z)}$

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku $|z-x| = ct$ .

Zasada Huygensa

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie $n=3$ oraz $n=2$ .

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki $K\subseteq\mathbb{R}^n$ .

Niech $n=3$ . Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że $u(x,t)\ne{}0$ tylko w pewnym skończonym czasie $t\in{}[t_1, t_2]$ . Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla $n=2$ . Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak $\frac{1}{t}$ .

Referencje

Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa