Równanie różniczkowe zwyczajne - Polski Serwis Naukowy

Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Definicja

Równanie postaci:

$F(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n)}(x)) = 0$ gdzie:

Równanie – forma zdaniowa postaci t1 = t2, gdzie t1,t2 są termami i przynajmniej jeden z nich zawiera pewną zmienną. Równanie jest więc formułą atomową z co najmniej jedną zmienną wolną. Term po lewej stronie znaku równości nazywa się lewą stroną równania, a term po prawej – prawą stroną równania. Szczególnym przypadkiem równania jest forma, w której jeden z termów jest stałą np. 0, czyli gdy jest postaci t1 = 0.

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

$F: D \subset \mathbb{R}^{n+2} \rightarrow \mathbb{R}$ jest zadaną funkcją,

$y',y'',\dots,y^{(n)}$ to kolejne pochodne szukanej funkcji

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Powyższe równanie daje się często zapisać w innej postaci: $y^{(n)}(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x),\dots,y^{(n-1)}(x))$

gdzie $f: D \subset \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}.$

W praktyce bardzo często pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji y tzn. zamiast $y(x),y^{(n)}(x)\,$ pisze się tylko $y,y^{(n)}\,$ .

Przykłady

Tor kuli wystrzelonej z armaty naśladuje krzywą opisywaną przez zwyczajne równanie różniczkowe pochodne drugiemu prawu Newtona.

Prostym przykładem może być drugie prawo Newtona opisujące ruch ciała o stałej masie m: $F(x(t))\ = m \frac{d^2 x(t)}{dt^2}$

gdzie siła F zależy od położenia ciała x(t) w czasie t, a nieznana funkcja x(t) pojawia się po obu stronach równania, co widać w zapisie F(x(t)).

Inne przykady:

$y' = 3y^2 -2x^3 + 4\,$

$\frac{y}{1+x} + y' + (1 + x)y^4 + 3y'' = 0$

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-8x\frac{dy}{dx}+5xy^3 - x =0$ w zapisie alternatywnym: $(y')^2 + 8xy' + 5xy^3 - x= 0\,$

$8 d^2y = dx\,$

Dodatkowe informacje

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

Zobacz też

Równanie różniczkowe