Równanie sześcienne - Polski Serwis Naukowy

Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci $ax^3+bx^2+cx+d=0\,$ , gdzie $a\neq 0$ . Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

W dalszych częściach tego artykułu w pełni przedstawimy metodę rozwiązywania równań sześciennych o współczynnikach zespolonych.

Rys historyczny

Równania sześcienne zostały rozwiązane w pierwszej połowie XVI wieku. W tamtym czasie w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych i każde równanie zapisywano tak aby wszystkie współczynniki były dodatnie. Rozważano więc szereg różnych typów równań trzeciego stopnia. Matematycy wiedzieli jednak, że rozwiązanie ogólnego równania trzeciego stopnia może być zredukowane do rozwiązania jednego z następujących dwóch typów równań:

Włochy (Republika Włoska, wł. Italia, Repubblica Italiana) – państwo położone w Europie Południowej, na Półwyspie Apenińskim, będące członkiem wielu organizacji, m.in.: UE, NATO, należące do ośmiu najbardziej uprzemysłowionych i bogatych państw świata – G8.
Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

$x^3 + mx = n\,$ oraz $x^3 = mx + n\,$ (gdzie $m,n>0\,$ ).

Włoski matematyk Scipione del Ferro podał metodę rozwiązania jednego z tych typów, a prawdopodobnie też i drugiego. Nie rozgłaszał on swoich odkryć i przekazał on swoją metodę jedynie paru osobom, np. jego student Fior wiedział, jak rozwiązać równanie pierwszego typu. Del Ferro zapisywał wszystkie swoje odkrycia w notatniku, który po jego śmierci przeszedł w posiadanie Hannibala Nave, zięcia del Ferro. (Nave był również matematykiem i po śmierci teścia w 1526 r. przejął jego posadę na Uniwersytecie Bolońskim.)

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Niezależnie (ale i później) równania te były rozwiązane przez Niccolo Tartaglię. Potrafił on rozwiązać niektóre typy równań, kiedy w 1535 zaaranżowano mecz matematyczny pomiędzy Fiorem a Tartaglią. W czasie tej debaty każda ze stron podała drugiej 30 równań do rozwiązania. Podczas gdy zadania przygotowane przez Tartaglię były bardzo różnorodne, te podane przez Fiora dotyczyły tylko jedynego typu równań, które Fior potrafił rozwiązać. Rankiem 13 lutego 1535 Tartaglia odkrył sposób na rozwiązywanie tego typu równań i mecz wygrał. Swojej metody rozwiązywania równań Tartaglia nie chciał jednak ogłosić.

Biblioteka Wirtualna Nauki – jedna z pierwszych w Polsce bibliotek cyfrowych. Jest to system udostępniania naukowych baz danych przez Internet, prowadzony przez Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytetu Warszawskiego.
Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Girolamo Cardano uprosił Tartaglię w 1539 r. o wyjawienie metody rozwiązywania równań sześciennych, w zamian zobowiązując się do dochowania tajemnicy i nieujawniania metody. W 1540 r., Lodovico Ferrari, asystent Cardana, odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4, jednak odkrycie to nie mogło zostać opublikowanym ze względu na obietnicę daną Tartaglii.

Równanie algebraiczne to równanie postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie postaci
Lodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia.

W 1543 r. Cardano i Ferrari odwiedzili Nave, zięcia del Ferro, w Bolonii i dowiedzieli się od niego, że to del Ferro był pierwszym matematykiem, który rozwiązał równania trzeciego stopnia. Cardano uznał, że obietnica dana Tartaglii nie obowiązuje go więcej i opublikował metodę rozwiązywania równań 3. i 4. stopnia w swoim dziele Ars Magna w 1545.

Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.
Uniwersytet Boloński – jeden z największych uniwersytetów we Włoszech. Najstarszy uniwersytet w zachodnim świecie (rok założenia: 1088). Otrzymał przywileje w 1158 z rąk cesarza Fryderyka I Barbarossy; w XIX wieku komitet historyków pod kierownictwem Giosuè Carducci badając jego genealogię przesunął datę utworzenia do 1088. Uniwersytet Boloński jest historycznie słynny z nauczania prawa kanonicznego i cywilnego.

Sprowadzenie do postaci kanonicznej

Najpierw pokażemy, że równanie

może być sprowadzone do tak zwanej postaci kanonicznej:

Dzieląc obie strony równania (1) przez $a$ otrzymujemy $x^{3}+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0,$

i stosując podstawienie $x=y-\frac{b}{3a}$ mamy $\left(y-\frac{b}{3a}\right)^{3}+\frac{b}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(y-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$ .

Po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymujemy $y^{3}-y^{2}\frac{b}{a}+y^{2}\frac{b}{a}+y\frac{b^{2}}{3a^{2}}-y\frac{2b^{2}}{3a^{2}}+y\frac{c}{a}-\frac{b^{3}}{27a^{3}}+\frac{b^{3}}{9a^{3}}-\frac{bc}{3a^{2}}+\frac{d}{a}=0.$

Wyraz z kwadratem znika i równanie wygląda tak:

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość:

$y^{3}+y\left(\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3a^{2}}\right)+\frac{2b^{3}}{27a^{3}}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^{2}}=0.$

Następnie należy zastosować 2 podstawienia: $p=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{3a^{2}},$ $q=\frac{2b^{3}}{27a^{3}}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}.$

Otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej (2). Każdy pierwiastek tego równania wyznacza pierwiastek równania (1).

Tak więc, jeśli wskażemy jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej, to będziemy mogli rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia.

Warto zauważyć, że sprowadzenie do postaci kanonicznej łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera, ponieważ $y=x+\frac{b}{3a}$ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z $y$ to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu $x+\frac{b}{3a}$ .

Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą, występującą w drugiej potędze. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)