Równanie własne - Polski Serwis Naukowy

Równanie własne – równanie postaci: $\hat{A}\psi_{a}=a\psi_{a}$

lub w notacji Diraca: $\hat{A}|\psi_{a}\rangle=a|\psi_{a}\rangle$

w którym dany jest operator $\hat{A}$ , a szukanymi: wartości własne $a$ i funkcje własne $\psi_{a}$ odpowiadające wartości własnej $a$ .

Równanie własne gra podstawową rolę w mechanice kwantowej, gdzie $\hat{A}$ reprezentuje wielkość fizyczną (obserwablę), $\psi$ jest funkcją falową opisującą analizowany układ fizyczny (kwantowy), a $a$ - wynikiem pomiaru wielkości reprezentowanej przez operator $\hat{A}$ . W reprezentacji macierzowej Heisenberga $|\psi\rangle$ jest wektorem własnym w przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Pojęcie liczby kwantowej pojawiło się w fizyce wraz z odkryciem mechaniki kwantowej. Okazało się, że właściwie wszystkie wielkości fizyczne mierzone w mikroświecie atomów i cząsteczek podlegają zjawisku kwantowania, tzn. mogą przyjmować tylko pewne ściśle określone wartości. Na przykład elektrony w atomie znajdują się na ściśle określonych orbitach i mogą znajdować się tylko tam, z dokładnością określoną przez zasadę nieoznaczoności. Z drugiej strony każdej orbicie odpowiada pewna energia. Bliższe badania pokazały, że w podobny sposób zachowują się także inne wielkości np. pęd, moment pędu czy moment magnetyczny (kwantowaniu podlega tu nie tylko wartość, ale i położenie wektora w przestrzeni albo jego rzutu na wybraną oś). Wobec takiego stanu rzeczy naturalnym pomysłem było po prostu ponumerowanie wszystkich możliwych wartości np. energii czy momentu pędu. Te numery to właśnie liczby kwantowe.

Równanie Schrödingera jako równanie własne

W szczególności równanie Schrödingera jest równaniem własnym hamiltonianu $\hat{H}$ (tj. operatora energii), mającym postać: $\hat{H}\psi_{E} = E \psi_{E}$

gdzie hamiltonian jest operatorem różniczkowym zależnym geometrii i oddziaływań w badanym układzie fizycznym, zaś E - energią układu znajdującego się w stanie opisywanym funkcją falową $\psi_{E}$ .

Rozwiązanie powyższego równania jest równoznaczne znalezieniu kwantowomechanicznego opisu układu.

Wodór (H, łac. hydrogenium) – pierwiastek chemiczny, niemetal z bloku s układu okresowego. Jest to najprostszy możliwy pierwiastek o liczbie atomowej 1, składający się z jednego protonu i jednego elektronu.

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.

W zależności od układu fizycznego równanie własne hamiltonianu może mieć jedno, skończoną lub nieskończoną liczbę rozwiązań. Zbiór rozwiązań może też być ciągły (istnieją rozwiązania o dowolnej energii E) lub dyskretny (istnieją rozwiązania tylko dla pewnych wartości energii: E1, E2, E3, ...).

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.

Pomiar - według współczesnej fizyki proces oddziaływania przyrządu pomiarowego z badanym obiektem, zachodzący w czasie i przestrzeni, którego wynikiem jest uzyskanie informacji o własnościach obiektu.

W szczególności dla stanów związanych (np. atomu wodoru) otrzymujemy dyskretny zestaw rozwiązań "numerowanych" liczbą całkowitą n, na przykład: $\psi_{n}$ , En, gdzie: n = 1, 2, 3...

Z tego, że zbiór rozwiązań równania własnego hamiltonianu jest dyskretny, wynika że układ fizyczny może znajdować się tylko w stanach o określonej energii (mówiąc potocznie: jego "poziomy energetyczne są skwantowane"). Stany te są opisane liczbą n, nazywaną liczbą kwantową.

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przyłożeniu do niego endomorfizmu; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Erwin Schrödinger (ur. 12 sierpnia 1887 w Wiedniu (Erdberg), zm. 4 stycznia 1961 w Wiedniu) – austriacki fizyk teoretyk, jeden z twórców mechaniki kwantowej, laureat Nagrody Nobla z dziedziny fizyki w roku 1933 za prace nad matematycznym sformułowaniem mechaniki falowej.

Tak więc skwantowanie poziomów energetycznych elektronów w atomach jest spowodowane dyskretnym charakterem rozwiązań równania własnego odpowiadającego im hamiltonianu.

Wyniki prac nad odkrytym przez siebie równaniem przedstawił Schrödinger w czterech artykułach opublikowanych w 1926 r. w czasopiśmie Annalen der Physik pod wspólnym tytułem: Quantisierung als Eigenwertproblem, czyli Kwantowanie jako problem wartości własnych.