Równoległość - Polski Serwis Naukowy

Równoległość – w geometrii relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny, odcinki, półproste.

Aksjomaty

Aksjomat Euklidesa Jeżeli prosta (transwersalna) $t$ przecina proste $a, b$ tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie różne, to proste $a, b$ przecinają się, co oznacza się $a \nparallel b$ . Proste $a, b$ , które są równoległe, opisuje się symbolem $a \parallel b$ .

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Półprosta to jednowymiarowa figura geometryczna powstała przez przecięcie prostej w dowolnie wybranym punkcie, nazywanym początkiem półprostej. Punkt ten, oraz wszystkie punkty prostej leżące po jednej jego stronie tworzą półprostą.

Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

Aksjomat Playfaira Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

Geometria euklidesowa

Osobny artykuł: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Wyznacznik – w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M, o współczynnikach z pierścienia przemiennego R (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem detM), która spełnia następujące warunki:

Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są do siebie równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Rzut prostokątny na płaszczyznę – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z płaszczyzną. Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego.

Własności

Ponieważ równoległość jest relacją równoważności, a więc jest zwrotna: $a \parallel a$ , symetryczna: $a \parallel b$ pociąga $b \parallel a$ , przechodnia: $a \parallel b$ oraz $b \parallel c$ , to $a \parallel c$ ,

Geometria analityczna

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste w przestrzeni kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe odpowiadają układowi sprzecznemu (brak punktów wspólnych) lub zawsze spełnionemu (proste pokrywające się). Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$ ,

nie przecinają się lub pokrywają się, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru: $\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = 0 \iff A_1B_2 = A_2B_1$ .

Odległość prostych równoległych

Odległość prostych równoległych - odległość któregokolwiek punktu leżącego na jednej prostej od jego rzutu prostopadłego na drugą prostą.

Niech l || k. Wówczas $l: Ax+By+C_1\,$ i $k: Ax+By+C_2\,$ , gdy $A_2+B_2>0\,$ . Odległość punktu O od prostej l wyraża się wzorem:

Przestrzeń – zbiór, w którym określone są rozmaite relacje i działania pomiędzy jego elementami. Synonim pojęcia struktury matematycznej używany dla oddania pewnych intuicji matematycznych oraz w celu skrócenia wypowiedzi.

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Dla podzbioru U przestrzeni liniowej V nad ciałem K potrzeba i wystarcza by był on podprzestrzenią liniową, gdy dla wszystkich i spełnione są warunki:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Ponieważ O∈k $Ax_0+By_0+C_2=0\,$ , więc $Ax_0+By_0= - C_2\,$ .

Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać: $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej: $l: y=mx+n_1\,$ , $k: y=mx+n_2\,$ ,

to wzór przybierze postać: $d=\frac{|n_1-n_2|}{\sqrt{1+m^2}}$

Geometrie nieeuklidesowe

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

W geometrii rzutowej każde dwie proste mają co najmniej jeden punkt przecięcia. Te o których geometria euklidesowa mówi, iż są równoległe (mają wspólny kierunek), w tej geometrii przecinają się w tzw. punkcie w nieskończoności.

Niewiadoma – w pojęciu nauk ścisłych określenie wielkości poszukiwanej, której wartość liczbowa jest zależna od różnych mierzalnych czynników, która może zostać zastąpiona symbolem niewiadomej (szukanej) i znaleziona doświadczalnie lub przez rozwiązanie równań lub nierówności.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W geometrii eliptycznej również każde dwie proste mają punkt wspólny, toteż pojęcie równoległości nie istnieje.

Przypisy

Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe przestrzeni n-wymiarowej

Zobacz też

prostopadłość