Reguła de l'Hospitala - Polski Serwis Naukowy

Reguła de l'Hospitala (twierdzenie de l'Hospitala) – twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego pozwalające wyznaczać granice tzw. wyrażeń nieokreślonych.

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia Guillaume'a François Antoine'a markiza de l'Hospital. (Ze względu na zmiany pisowni francuskiej nazwisko de l'Hospital można również pisać "l'Hôpital" bez (niemego) "s", za to z charakterystycznym haczykiem zwanym cirkumfleksem.) W 1696 Guillaume de l'Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym dyskutowane tu twierdzenie było zawarte. De l'Hospital nigdy nie twierdził, że jest on autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa Reguła de l'Hospitala jest powszechnie przyjęta.

Twierdzenie Stolza (zwane czasem twierdzeniem Stolza-Cesàro) to twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Otto Stolza i Ernesto Cesàro.

Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.

Reguła l'Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt $a$ oraz

$\lim_{x\to a}f(x)=0$ ,
$\lim_{x\to a}g(x)=0$ ,

lub

$\lim_{x\to a}f(x)= \pm\infty$ ,
$\lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty$ ,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}(a)$ i $g^{\prime}(a)$ , przy czym $g^{\prime}(a)\neq 0$ , wówczas $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ .

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji. Dla przykładu

Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.

Symbol bądź wyrażenie nieoznaczone – wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji. Zalicza się do nich:

$\lim_{x\to 0}\tfrac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}= \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1}{e-x}+1} = \lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})}{\tfrac{-1+(e-x)}{e-x}} =\lim_{x\to 0}\tfrac{(e^x+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}=\tfrac{2e}{e-1}$ .

Często zdarza się jednak, że funkcje $f$ i $g$ nie są określone w punkcie $a$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie zwane regułą l'Hospitala:

Wersja podstawowa

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $(a,b]$ oraz

$\lim_{x\to a^+}f(x)=0$ ,
$\lim_{x\to a^+}g(x)=0$ ,

lub

Akcent przeciągły ( ˆ, łac. circumflexus, gr. περισπωμένος / perispomenos), często nazywany daszkiem to znak diakrytyczny używany w językach: esperanto, francuskim, greckim, rumuńskim, słowackim, portugalskim i innych.

$\lim_{x\to a^+}f(x)= \pm\infty$ ,
$\lim_{x\to a^+}g(x)= \pm\infty$ ,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}$ i $g^{\prime}$ w przedziale $(a,b]$ , przy czym $g^{\prime}(x)\neq 0$ dla $x\in (a,b]$ . Wówczas, jeśli istnieje granica $\lim_{x\to a^+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K$ ,

to wtedy również $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=K$ .

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic niewłaściwych

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $[c,\infty)$ oraz

$\lim_{x\to \infty}f(x)=0$ ,
$\lim_{x\to \infty}g(x)=0$ ,

lub

$\lim_{x\to \infty}f(x)= \pm\infty$ ,
$\lim_{x\to \infty}g(x)= \pm\infty$ ,

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime}$ i $g^{\prime}$ w przedziale $[c,\infty)$ , przy czym $g^{\prime}(x)\neq 0$ dla $x\in [c,\infty)$ . Wówczas, jeśli istnieje granica $\lim_{x\to \infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=K$ ,

to wtedy również $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=K$ .

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy $x\to -\infty$ .

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym $I$ zawierającym punkt $a$ oraz

w przedziale $I$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do $n$ włącznie funkcji $f$ i $g$ ,
$f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0$ , $g(a)=g'(a)=\ldots=g^{(n-1)}(a)=0$ , oraz $g^{(n)}(a)\neq 0$ ,
$g(x)\neq 0$ dla $x\in I\setminus\{a\}$ ,

wówczas $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$ .

Zastosowania

Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

$\lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x}=\left[ \frac{\sin 0}{0} \right]=\left[ \frac{0}{0} \right]$

W takim przypadku stosujemy regułę de l'Hospitala zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne: $\lim_{x \to 0}~\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}~\frac{\cos x}{1}=\frac{1}{1}=1$

Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.

Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik.

Zobacz też

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1966.