Reguła równoległoboku - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy zależności w równoległoboku. Zapoznaj się również z: metoda równoległoboku dodawania wektorów.

Równoległobok. Boki zaznaczono kolorem niebieskim, przekątne – kolorem czerwonym.

Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok można zapisać ją wzorem

Prostokąt - w planimetrii, czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku. Szczególnym przypadkiem prostokąta (o wszystkich bokach tej samej długości) jest kwadrat.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.

(AB) + (BC) + (CD) + (DA) = (AC) + (BD)

Jeżeli równoległobok jest prostokątem, to przekątne mają równe długości, a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa. W ogólności jednak kwadrat długości żadnej z przekątnych nie jest sumą kwadratów długości dwóch boków.

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Matematyka (. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach unitarnych wyrażenie reguły równoległoboku sprowadza się do tożsamości algebraicznej nazywanej często właśnie tożsamością równoległoboku: $2\|\mathbf x\|^2 + 2\|\mathbf y\|^2 = \|\mathbf x + \mathbf y\|^2 + \|\mathbf x - \mathbf y\|^2$ ,

gdzie $\|\mathbf x\|^2 = \langle \mathbf x, \mathbf x \rangle$ .

Przestrzenie unormowane

Większość rzeczywistych i zespolonych unormowanych przestrzeni liniowych nie jest wyposażonych w iloczyny skalarne, ale we wszystkich określone są normy (stąd nazwa). Z tego powodu można obliczyć wartości wyrażeń po obu stronach powyższej równości. Ważnym faktem jest, iż jeżeli spełniona jest powyższa tożsamość, to norma musiała powstać w standardowy sposób z pewnego iloczynu skalarnego (została przez niego indukowana). Dodatkowo iloczyn skalarny ją generujący wyznaczony jest jednoznacznie, co jest konsekwencją tożsamości polaryzacyjnej; w przypadku rzeczywistym dany jest on wzorem

Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

Geometria (gr. γεωμετρία; geo – ziemia, metria – miara) – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

$\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = {\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 4}$

lub, równoważnie, ${\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x\|^2 - \|\mathbf y\|^2 \over 2}$ albo ${\|\mathbf x\|^2 + \|\mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 2}$ .

W przypadku zespolonym wzór ma postać: $\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = {\|\mathbf x + \mathbf y\|^2 - \|\mathbf x - \mathbf y\|^2 \over 4} + i{\|i\mathbf x - \mathbf y\|^2 - \|i\mathbf x + \mathbf y\|^2 \over 4}$ .

Linki zewnętrzne

Prosty dowód reguły równoległoboku na UNLV Kappa Sigma

Reguła równoległoboku: dowód bez słów na cut-the-knot

Dowód reguły równoległoboku na Planet Math