Reguła trzech sigm [str.3/3] - Polski Serwis Naukowy

Polski Serwis Naukowy - OnLine od 1999 roku

RSS

Regulaminy

Wyszukiwanie:

Na skróty:

Rejestracja

Dodaj zadanie

Biologia Chemia Fizyka Geografia Informatyka Matematyka Przedsiębiorczość

Historia Język polski Język angielski Język francuski Język niemiecki Języki obce - pozostałe WOS Pozostałe

Prezentacje maturalne

Dodaj do:

Warto przeczytać:

Kopia kopii nierówna - to statystyka różnicuje komórki

Odkryte przez naukowców z Instytutu Chemii Fizycznej PAN w Warszawie nowe prawo statystyczne wyjaśnia, dlaczego sklonowany kot wygląda inaczej niż oryginał, a bliźniacy wcale nie są tacy sami. Prawo to wyjaśnia najprostszy mechanizm, dzięki któremu w ros...

Matematycy z AGH napiszą podręczniki dla wydawnictwa Cambridge University Press

Naukowcy z Wydziału Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej zostaną współautorami 10 podręczników i monografii z matematyki finansowej dla prestiżowego wydawnictwa Cambridge University Press.Jak poinformował rzecznik prasowy AGH Bartosz Dembiński, cykl podręczników ma ...

Nowy współczynnik ryzyka genetycznego w chorobie Lou Gehriga (ALS)

Międzynarodowy zespół naukowców pracujący na Uniwersytecie Pensylwanii, USA, oraz na Uniwersytecie im. Goethego w Niemczech zidentyfikował nowy współczynnik ryzyka genetycznego stwardnienia zanikowego bocznego (ALS), zwanego potocznie chorobą Lou Gehriga od nazwiska...

Naukowcy zidentyfikowali współczynnik ryzyka genetycznego pospolitej choroby skóry

Naukowcy zidentyfikowali wariant genetyczny, który wydaje się mieć związek z podwyższonym ryzykiem zachorowania na atopowe zapalenie skóry. Naukowcy mają nadzieję, że ich odkrycia doprowadzą do opracowania nowych leków na tę przewlekłą chorobę. Wyniki badań sfinansowanych w części ...

Przyziemienie - wyniki unijnego projektu włączają czynnik ludzki do szkolenia w zakresie bezpieczeństwa na lotnisku

Porty lotnicze to centra aktywności leżące u podstaw współczesnego życia - infrastruktury obsługujące przepływ ludzi i towarów przez okrągłą dobę. Wraz z rosnącymi obawami rządów o ryzyko ataku terrorystycznego w kraju, inwestycje w systemy zabezpieczające na lotniskach rosną w postępie geometrycznymi w dzisiejszy...

Ostatnio na Forum:

Dyskusje

Nie zdałem matury - co zrobic?

11
odp.

Rozwiązywanie zadań - problemy

1
odp.

Jurajski kącik historyczny

0
odp.

Czy liczba 3 jest jedna?

8
odp.

Brak jednej strony

4
odp.

Zadania

Wiadomości o Panu Tadeuszu Adama Mickiewicza

9
odp.

Rozmowa kwalifikacyjna

0
odp.

Opisy: Niemcy, Święta Bożego Narodzenia w Polsce.

0
odp.

Równania wymierne w zadanich z terścia.

1
odp.

drabina oparta o sciane

2
odp.

Reklama:

Reguła trzech sigm

To hasło encyklopedii posiada podstrony: [1][2] 3

Czy wiesz że...?
Szereg czasowy to realizacja procesu stochastycznego, którego dziedziną jest czas; to ciąg informacji uporządkowanych w czasie, których pomiary wykonywane są z dokładnym krokiem czasowym. Jeżeli krok nie będzie regularny wtedy mamy do czynienia z szeregiem czasowym rozmytym.

Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk mieści się przy ul. Śniadeckich 8 w Warszawie. Powstał 20 listopada 1948 roku jako Państwowy Instytut Matematyczny. W 1952 roku został włączony do Polskiej Akademii Nauk. Jest instytucją ogólnopolską i poza Warszawą posiada ośrodki w Krakowie, Gdańsku, Katowicach, Łodzi, Poznaniu, Toruniu i Wrocławiu. Prowadzi studia doktoranckie w zakresie matematyki.

Alternatywy dla odchylenia standardowego

Metody rangowe

W przypadku bardzo zaburzonych rozkładów z obserwacjami odstającymi lepiej zastosować metody nieparametryczne. Miary nieparametryczne dają mniej dokładne wyniki w przypadku niezaburzonego rozkładu normalnego, jednak lepsze w przypadku bardzo zaburzonych danych.

Najczęściej jest tutaj stosowany rozstęp ćwiartkowy (rozstęp kwartylny), czyli różnica pomiędzy trzecim i pierwszym kwartylem z próby. Pierwszy kwartyl to liczba, poniżej której znajduje się 25% obserwacji. Trzeci kwartyl to liczba powyżej której jest 25% obserwacji. Pomiędzy nimi znajduje się 50% obserwacji. Połowa rozstępu ćwiartkowego to tzw. odchylenie ćwiartkowe. Miary te są niezależne od rozkładu, dzięki czemu zachowują swoją interpretację w sytuacjach, gdy odchylenie standardowe staje się nieprzydatne.

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa lub krzywą dzwonową jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.
Skala interwałowa (przedziałowa) – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienna jest na skali interwałowej, gdy różnice między dwiema jej wartościami dają się obliczyć i mają interpretację w świecie rzeczywistym, jednak nie ma sensu dzielenie dwóch wartości zmiennej przez siebie. Innymi słowy określona jest jednostka miary, jednak punkt zero jest wybrany umownie.

Ważone odchylenie standardowe

Istnieje też wersja odchylenia standardowego, w której poszczególne obserwacje brane są z różnymi wagami. Odpowiednikiem wzoru (3) jest wówczas: $s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left( w_i\left(x_i -\frac{\sum_{i=1}^n x_i w_i}{n}\right) ^2\right) }{n-1}}$

przy czym wagi muszą być znormalizowane do 1: $\sum_{i=1}^n w_i=1$

Ważone odchylenie standardowe jest najczęściej wykorzystywane do zmniejszenia wrażliwości odchylenia standardowego na obserwacje odstające, co jest osiągane przez nadanie mniejszych wag obserwacjom dalekim od średniej.

Średnie odchylenie bezwzględne

Jeszcze innym podejściem jest obliczanie średniego odchylenia bezwzględnego, czyli wartości:

Przedział ufności jest podstawowym narzędziem estymacji przedziałowej. Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia Jerzego Spławę-Neymana.
Ronald Aylmer Fisher (ur. 17 lutego 1890 w Londynie, zm. 29 lipca 1962 w Adelajdzie) — genetyk i statystyk brytyjski, profesor eugeniki London School of Economics w latach (1933–1943) i profesor genetyki Uniwersytetu w Cambridge (1943–1957), członek Royal Society w Londynie (Towarzystwa Królewskiego). Anders Hald określił go jako "geniusza, który niemalże sam stworzył podstawy współczesnej statystyki", zaś Richard Dawkins jako "największego ze spadkobierców Darwina".

$D = \frac{\sum_{i=1}^{n}|x_i - \overline{x}|}{n}$

Miara ta ma tę zaletę, iż błąd każdej obserwacji wchodzi do wyniku z tą samą wagą, jest zatem bardziej odporna na obserwacje odstające.

Zobacz też

współczynnik zmienności

miara rozkładu

statystyka opisowa

sześć sigma

Przypisy

ściślej: wokół wartości oczekiwanej
Pierwszy raz użyto w: Karl Pearson: Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1894. Ser. A, 185, 71-110. . (praca dostępna tutaj) Na stronie 80 Pearson napisał "Then σ will be termed its standard-deviation (error of mean square)". Kiedy Ronald Fisher wprowadzał wariancję w 1918, nie wymyślał już nowego symbolu, lecz użył $\sigma^2$ .
przy założeniu, że w ogóle odchylenie standardowe dla danego rozkładu istnieje, gdyż zdarzają się (w teorii statystyki) rozkłady, dla których odpowiedni wzór nie jest całkowalny, oraz takie, dla których odchylenie jest nieskończone.
Dowód drugiej równości $\sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)}= \sqrt{\operatorname{E}(X^2) -2 \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(X)+ (\operatorname{E}(X))^2}=\sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$
Dowód: $\sigma=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N{(x_i-\mu)^2}}{N}}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N{(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2)}}{N}}= \sqrt{\sum\limits_{i=1}^N \frac{x_i^2}{N}-2\mu\sum\limits_{i=1}^N \frac{x_i}{N}+\sum\limits_{i=1}^N\frac{\mu^2}{N}}$ ale dla populacji $\sum\limits_{i=1}^N\frac{x_i}{N}=\mu$ (nie jest to już prawda dla próby) więc: $\sigma=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N{x_i^2}}{N}-\mu^2}$
jest nieobciążony asymptotycznie, o czym mowa dalej, jednak "estymator nieobciążony asymptotycznie" i "estymator nieobciążony" to dwa różne pojęcia. Nie każdy estymator nieobciążony asymptotycznie jest estymatorem nieobciążonym i ten akurat nie jest. Istnieją też inne estymatory nieobciążone asymptotycznie odchylenia standardowego.
Wyprowadzenie drugiej części wzoru (3): $s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2}}{n-1}}$ $s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2-2 \sum_{i=1}^n x_i\overline{x}+\sum_{i=1}^n \overline{x}^2}{n-1}}$ $s=\sqrt{\frac{n\overline{x^2}-2 n\overline{x}^2+n\overline{x}^2}{n-1}}$ $s=\sqrt{\frac{n\overline{x^2}- n\overline{x}^2}{n-1}}$ $s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\left( \overline{x^2}-(\overline{x})^2\right) }$
Estymator wariancji z $n$ w mianowniku: $s_n^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n}$ Wartość oczekiwana tego estymatora: $E(s_n^2)=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\right]$ Po odjęciu i dodaniu $\mu$ : $E(s_n^2)=\frac{1}{n}E\left[\sum_{i=1}^{n}\left( (x_i-\mu)+(\mu-\overline{x})\right)^2\right]$ Ze wzoru na kwadrat sumy: $E(s_n^2)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[E\left( (x_i-\mu)^2\right) +2E\left( (x_i-\mu)(\mu-\overline{x})\right) +E\left( (\mu-\overline{x})^2\right) \right]$ Drugi składnik: $E\left( (x_i-\mu)(\mu-\overline{x})\right) =$ $-E\left( (\mu-x_i)(\mu-\overline{x})\right) =$ $-E\left( (\mu-\overline{x})^2\right)$ Stąd: $E(s_n^2)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[E\left( (x_i-\mu)^2\right) -E\left( (\mu-\overline{x})^2\right) \right]$ Jednak: $E\left( (x_i-\mu)^2\right)=\sigma^2$ (z definicji) $E\left( (\mu-\overline{x})^2\right)=\operatorname{var}(\overline{x})= \operatorname{var}\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right) =$ $=\frac{\operatorname{var}(x_1)+\operatorname{var}(x_2)+\dots +\operatorname{var}(x_n)}{n^2}$ $=\frac{1}{n}\sigma^2$ (gdyż $\operatorname{var}(x_i)=\sigma^2$ ) Stąd: $E(s_n^2)=\frac{1}{n}n\left( \sigma^2-\frac{1}{n}\sigma^2\right) =\frac{n-1}{n}\sigma^2$ A więc: $\sigma^2=\frac{n}{n-1}E(s_n^2)=E\left[\frac{n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2\right]=$ i: $\sigma^2=E\left[\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}\right]$ A więc wzór z $n-1$ w mianowniku jest nieobciążonym estymatorem wariancji.
en:Unbiased estimation of standard deviation.
Wzór na $c_4$ wynika z twierdzenia Cochrana. Zgodnie z nim $\sqrt{n-1}s/\sigma$ ma rozkład chi z $n-1$ stopniami swobody.
↑ W tym artykule, jak w wielu miejscach w statystyce pojawiają się określenia "duża próba", "rozkład zbliżony do normalnego" itp. Nie są to określenie ścisłe i być nie mogą. Zwykle mówi się w ten sposób, że pewna własność jest spełniona z tym mniejszym błędem im próba jest większa lub rozkład bardziej zbliżony do normalnego. Statystyka jest nauką ścisłą w tym sensie, że przy spełnionych ściśle założeniach istnieje gwarancja używania najdokładniejszych wzorów. Ponieważ jednak założenia nigdy ściśle spełnione nie są, więc właściwy dobór metod jest swego rodzaju sztuką, nie dającą się ściśle sformalizować. Niektórzy ze względów praktycznych zakładają, że "duża próba" ma np. co najmniej 50 obserwacji. Nie ma to jednak żadnych podstaw merytorycznych - ten próg zależy zwykle nie tylko od wielkości próby, ale i od dopuszczalnego błędu i od kształtu rozkładu. Dla jednych prób wystarczy 20 obserwacji, żeby dany wzór można było z sensem stosować, dla innych trzeba 2000.
Dowód dwukrotnie wykorzystuje nierówność Jensena: $\begin{align} \left|\mu-m\right| &= \left|\mathrm{E}(X-m)\right|\leqslant\\ &\leqslant \mathrm{E}\left(\left|X-m\right|\right)\leqslant\\ &\leqslant \mathrm{E}\left(\left|X-\mu\right|\right)=\\ &= \mathrm{E}\left(\sqrt{(X-\mu)^2}\right)\leqslant\\ &\leqslant \sqrt{\mathrm{E}((X-\mu)^2)} = \sigma. \end{align}$
↑ W praktyce ta definicja wymaga pewnego uściślenia, zobacz kwantyl

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).
Losowanie ze zwracaniem lub losowanie z powtórzeniami - rodzaj wielokrotnego losowania, w którym powtarzane jest takie samo pojedyncze losowanie z tego samego zbioru możliwych wyników, np. wylosowany obiekt trafia z powrotem do puli przed następnym powtórzeniem losowania i tym samym może być wylosowany wielokrotnie. Przykładem losowania ze zwracaniem jest też wielokrotny rzut kością.

przejdź do podstrony: [1][2] 3

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

Czy wiesz że...? beta

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:

Elżbieta Pleszczyńska (ur. 20 marca 1933) – statystyk, profesor zwyczajny nauk matematycznych, działaczka społeczna na rzecz pomocy niepełnosprawnym.

Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Dobór losowy – w statystyce taki dobór elementów z populacji do próby statystycznej, w którym wszystkie elementy populacji (przedmiotów, regionów, ludzi, itp.) mają równe szanse (takie samo prawdopodobieństwo) dostania się do próby.

Skala porządkowa – jeden z rodzajów skal pomiarowych. Zmienne są na skali porządkowej, gdy przyjmują wartości, dla których dane jest uporządkowanie (kolejność), jednak nie da się w sensowny sposób określić różnicy ani ilorazu między dwiema wartościami.

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby.

Powyższa treść oraz zamieszczone w niej powiązane definicje/pojęcia - udostępniane są na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania

Wszystkie hasła znajdujące się w naszym mirrorze Wikipedii mają znaczenie informacyjne i edukacyjne.
Nie mogą być traktowane jako porady.

O Portalu

Rekrutacja

Warunki korzystania, polityka pryw.