Reguły dedukcyjne - Polski Serwis Naukowy

Reguła (dyrektywa) dedukcyjna, także reguła (dyrektywa) inferencyjna, reguła (dyrektywa) dowodzenia - właściwa dla danego systemu dedukcyjnego reguła pozwalająca uznawać zdania o określonej strukturze na podstawie zdań już uprzednio uznanych. Stanowi strukturalną regułę wnioskowania dedukcyjnego.

Reguła odrywania – oparta na prawie rachunku zdań modus ponens reguła przekształcania jednych formuł zdaniowych w inne formuły zdaniowe przyjmowana na gruncie rachunku zdań. W pierwotnej formie sformułowana w logice stoików. Część autorów termin „reguła odrywania” rozumie szerzej, mianowicie regułę odrywania dla równoważności o analogicznej do reguły odrywania (dla implikacji) postaci.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu – (ang. first order predicate calculus) to system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu "dla każdej funkcji z X na Y ..." (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), "istnieje własność p, taka że ..." czy "dla każdego podzbioru X zbioru Z ...". Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Każdy sformalizowany system dedukcyjny posiada określony, właściwy sobie zespół reguł dedukcyjnych. Najczęściej występujące reguły dedukcyjne to reguła odrywania, reguła podstawiania i reguła zastępowania. Rachunek kwantyfikatorów zawiera także reguły dołączania i opuszczania kwantyfikatorów.

Przykłady

Przyjmując aksjomaty:

(A1) $(p \Rightarrow q) \Rightarrow ((q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r))$

(A2) $(\neg p \Rightarrow p) \Rightarrow p$

(A3) $p \Rightarrow (\neg p \Rightarrow q)$

Można udowodnić prawo tożsamości stosując regułę podstawiania dla zmiennych zdaniowych (RP) i regułę odrywania dla zmiennych zdaniowych (RO) w następujący sposób:

(1) $(p \Rightarrow q) \Rightarrow ((q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r))$ (A1)

(2) $(p \Rightarrow ( \neg p \Rightarrow q)) \Rightarrow (((\neg p \Rightarrow q) \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r))$ (RP: 1)

(3) $p \Rightarrow (\neg p \Rightarrow q)$ (A3)

(4) $((\neg p \Rightarrow q) \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$ (RO: 2, 3)

(5) $((\neg p \Rightarrow p) \Rightarrow p) \Rightarrow (p \Rightarrow p)$ (RP: 4)

(6) $(\neg p \Rightarrow p) \Rightarrow p$ (A2)

(7) $p \Rightarrow p$ (RO: 5, 6)

Stosując reguły dowodzenia można dowodzić twierdzenia nie tylko bezpośrednio z aksjomatów, ale też posługując się twierdzeniami dowiedzionymi z aksjomatów uprzednio.

Przypisy

Za: Barbara Stanosz, Ćwiczenia z logiki, Warszawa 1973