Regula falsi - Polski Serwis Naukowy

Dwie pierwsze iteracje algorytmu, dla przykładowej funkcji (oznaczona na czerwono); na niebiesko zaznaczono sieczne

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję $y=f(x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f(a)f(b) < 0$ .
Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

Algorytm – w matematyce oraz informatyce skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Słowo "algorytm" pochodzi od starego angielskiego słowa algorism, oznaczającego wykonywanie działań przy pomocy liczb arabskich (w odróżnieniu od abacism - przy pomocy abakusa), które z kolei wzięło się od nazwiska, które nosił Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي), matematyk perski z IX wieku.

Łacina (łac. lingua Latina, język łaciński) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym. Łacina była językiem ojczystym Rzymian. Stała się z czasem językiem urzędowym całego Imperium Rzymskiego, wypierając inne wcześniej używane na tym obszarze języki (takie jak oskijski czy umbryjski).

Na początku przez punkty $A=(a, f(a))$ i $B=(b, f(b))$ przeprowadzana jest cięciwa.

Punkt przecięcia $x_1$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.

Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.

Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x_1, f(x_1))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f(x_1)$ . Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.

Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX ( $x_i$ ) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

$x_{1}=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$

$x_{i+1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)\le 0 \\ \\ \frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0 \end{matrix}\right.$

dla $i=1,2,...$

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

metoda bisekcji

metoda siecznych

Metoda Newtona (metoda stycznych)

algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)

Linki zewnętrzne

http://www.algorytm.org/index.php?option=com_content&task=view&id=79&Itemid=28