Reprezentacja grupy - Polski Serwis Naukowy

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja formalna

Reprezentacją grupy $G$ w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ jest homomorfizm grupowy grupy $G$ w pełną grupę liniową $GL(V)$ .

Wymiar przestrzeni wektorowej $V$ nazywamy wymiarem reprezentacji.

Charakter reprezentacji

Niech $V$ będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji $\varphi$ nazywamy odwzorowanie $\chi_\varphi\colon G \to \mathbb C,\; \chi_\varphi(g) = \operatorname{tr}\, \varphi(g)$ , gdzie $g \in G$ , zaś $\operatorname{tr}$ jest operatorem śladu.

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.

Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Iloczyn tensorowy i suma prosta reprezentacji

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie $\oplus$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

$\varphi : G \to GL(V)$ $\psi : G \to GL(W)$

Jest to $\varphi \oplus \psi : G \to GL(V \oplus W)$ $(\varphi \oplus \psi)(g) = \varphi(g) \oplus \psi(g)$

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie $\otimes$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

$\varphi : G \to GL(V)$ $\psi : G \to GL(W)$

Jest to $\varphi \otimes \psi : G \to GL(V \otimes W)$ $(\varphi \otimes \psi)(g) = \varphi(g) \otimes \psi(g)$

Bibliografia

Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].