Rozkład Maxwella - Polski Serwis Naukowy

Rozkład Maxwella dla tlenu. Na 1 milion cząsteczek, n będzie poruszać się z prędkością v. Przestawiono liczbę cząstek dla trzech różnych temperatur (–100 °C, temperatura pokojowa i 600 °C)

Rozkład Maxwella dla tlenu, butanu, amoniaku i dwutlenku węgla w temperaturze pokojowej (20 °C). Na 1 milion cząsteczek, n będzie poruszać się z prędkością v

Rozkład Maxwella – równanie określające, jaka część ogólnej liczby cząsteczek gazu doskonałego porusza się w danej temperaturze z określoną prędkością przy założeniu równowagi termicznej tego gazu. Zależność ta ma charakter gęstości prawdopodobieństwa. Rozkład ten ma postać

Temperatura – jedna z podstawowych ) w termodynamice, będąca miarą stopnia nagrzania ciał. Temperaturę można ściśle zdefiniować tylko dla stanów równowagi termodynamicznej, bowiem z termodynamicznego punktu widzenia jest ona wielkością reprezentującą wspólną własność dwóch układów pozostających w równowadze ze sobą. Temperatura jest związana ze średnią energią kinetyczną ruchu i drgań wszystkich cząsteczek tworzących dany układ i jest miarą tej energii.

Kelwin – jednostka temperatury w układzie SI równa 1/273,16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody, oznaczana K. Definicja ta odnosi się do wody o następującym składzie izotopowym: 0,00015576 mola 2H na jeden mol 1H, 0,0003799 mola 17O na jeden mol 16O i 0,0020052 mola 18O na jeden mol 16O[1].

$f(v) = \frac{dP}{dv} = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\left( - \frac{\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}m v^{2}}{k T}\right)$

gdzie:

$v$ – szybkość cząsteczki gazu

$m$ – masa cząsteczki gazu (m = M/NA, gdzie M – masa molowa gazu, NA – stała Avogadra)

$k$ – stała Boltzmanna, k = R/NA (R – stała gazowa)

$T$ – temperatura

$\frac{dP}{dv}$ – prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość z zakresu (v, v + dv)

oraz warunek normalizacji funkcji rozkładu (prawdopodobieństwo $P \in <0,1>$ ):

Dwutlenek węgla (CO2, nazwa systematyczna: ditlenek węgla lub tlenek węgla(IV)) – nieorganiczny związek chemiczny, tlenek węgla na IV stopniu utlenienia.

Prędkość ucieczki (zwana też drugą prędkością kosmiczną oznaczana VII) ciała niebieskiego jest to minimalna prędkość początkowa (startowa) jaką musi mieć obiekt, aby mógł oddalić się dowolnie daleko od tego ciała.

$\int\limits_{0}^{\infin} f(v) dv = 1$

Z funkcji podanej przez Jamesa Clerka Maxwella wynika, że większość cząsteczek będzie poruszać się z prędkościami zbliżonymi do pewnej wartości średniej. Ze względu na występujące we wzorze wyrażenie wykładnicze $\exp\left(-x\right)$ z $\ x \$ proporcjonalnym do $\ v^2 \$ , udział cząsteczek o bardzo dużych prędkościach jest bardzo mały, gdyż $\exp\left(-x\right)$ jest bardzo małe, gdy $\ x \$ jest duże. Z drugiej strony, ze względu na to, że czynnik $\ v^2 \$ dąży do zera, gdy $\ v$ maleje, udział cząsteczek o bardzo małych prędkościach jest także znikomy.

Równowaga termodynamiczna – pojęcie stosowane w termodynamice. Oznacza stan, w którym makroskopowe parametry układu, takie jak ciśnienie, objętość i wszystkie funkcje stanu, są stałe w czasie. Na równowagę termodynamiczną składają się: równowaga chemiczna (brak makroskopowego przepływu cząstek i reakcji chemicznych), mechaniczna (nie występują niezrównoważone siły) i termiczna (nie występuje przepływ energii).

Stała Avogadra, inaczej liczba Avogadra, to liczba atomów, cząsteczek lub innych cząstek materii w jednym molu substancji złożonej z tychże atomów lub cząsteczek. Oznaczana przez NA (lub L - lepiej unikać ze względu na tak samo oznaczaną stałą Loschmidta), wynosi[1]:

Parametry rozkładu prędkości

Rozkład prędkości cząsteczek gazu można scharakteryzować trzema parametrami: prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia i prędkość średnia kwadratowa.

Prędkość najbardziej prawdopodobna $\ v_p \$ to taka prędkość $\ v \$ , dla której wartość $\ f(v) \$ jest największa. $v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }$

Prędkość średnia $\langle v \rangle$ określa przeciętną prędkość z jaką poruszają się cząsteczki w układzie. Ze względu na to, że rozkład Maxwella jest asymetryczny (prawostronnie skośny) prędkość średnia jest wyższa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Krzywa maxwellowska ma "ogon", który rozciąga się w stronę bardzo dużych prędkości tym bardziej, im wyższa jest temperatura gazu.

Rozkład Boltzmanna – stosowane w fizyce i chemii, równanie określające sposób obsadzania stanów energetycznych przez atomy, cząsteczki lub inne indywidua cząsteczkowe (cząstki) w stanie równowagi termicznej.

Rozkład Fermiego-Diraca – opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym, np. w atomie. Rozkład Fermiego-Diraca jest wersją rozkładu Boltzmanna dla fermionów – w tym wypadku elektronów – które obowiązuje zakaz Pauliego.

Prędkość średnia jest średnią arytmetyczną z prędkości wszystkich cząsteczek: $\langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}$

Prędkość średnia kwadratowa $\langle v_k \rangle$ jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej arytmetycznej kwadratów prędkości: $\langle v_k \rangle = \left(\int_0^{\infin} v^2 \, f(v) \, dv \right)^{1/2}= \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} }$

Średnia prędkość kwadratowa jest miarą energii kinetycznej $\langle E_k \rangle$ cząsteczek.

Z kinetycznej teorii gazów wynika, że

Butan (C4H10) – organiczny związek chemiczny z grupy alkanów. Występuje w dwóch formach izomerycznych: liniowy n-butan oraz rozgałęziony izobutan (metylopropan). Jest bezwonny.

James Clerk Maxwell (ur. 13 czerwca 1831 w Edynburgu, zm. 5 listopada 1879 w Cambridge) – szkocki fizyk i matematyk. Autor wielu wybitnych prac z zakresu elektrodynamiki, kinetycznej teorii gazów, optyki i teorii barw.

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

a więc energia kinetyczna cząsteczki zależy wyłącznie od temperatury, oraz ze względu na to, że zgodnie z Drugą zasadą dynamiki Newtona $\langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2\rangle$

otrzymujemy $\langle v_k \rangle = \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} }$

Jest to fundamentalny wniosek teorii kinetycznej, który łączy wprost prędkość cząsteczek z temperaturą i masą. Wynika z niego, że

średnia prędkość kwadratowa cząsteczek jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z temperatury.

Kinetyczno-molekularna teoria gazów — mikroskopowy model budowy gazów, umożliwiający makroskopowy opis ich właściwości przy założeniu bardzo dużej ilości atomów, cząsteczek lub jonów.

Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

Jeśli temperatura wzrośnie dwa razy (w skali Kelwina), to średnia prędkość kwadratowa cząsteczki wzrośnie $\sqrt{2} \approx 1{,}4 \$ razy.

Poza tym zachodzi: $v_p < \langle v \rangle < \langle v_k \rangle$ $\langle v \rangle = 1,13v_p$ $\langle v_k \rangle = 1,22v_p$

Konsekwencje rozkładu prędkości

Rozkład Maxwella pokazuje, że prędkości cząsteczek zależą od temperatury i masy molowej. Wraz ze wzrostem temperatury, rozkład się poszerza ("spłaszcza") a jego prędkość najbardziej prawdopodobna, jak i średnia prędkość i średnia prędkość kwadratowa ulegają przesunięciu ku większym szybkościom.

Zależność od masy cząsteczek powoduje z kolei, że cząsteczki gazów o małej masie molowej będą, w tej samej temperaturze, poruszały się średnio szybciej niż cząsteczki gazów cięższych. Rozkład dla gazów lekkich będzie bardziej płaski, a dla gazów cięższych bardziej wąski i wyostrzony, gdyż większość jego cząsteczek będzie się poruszała z prędkościami bardzo zbliżonymi do prędkości średnich i prędkości najbardziej typowej.

Takie zachowanie się gazów - dobrze opisywane przez rozkład Maxwella - ma duże znaczenie dla składu atmosferycznego planet. Spora część cząsteczek gazów lekkich będzie się poruszała z prędkościami przewyższającymi drugą prędkość kosmiczną. Oznacza to, że cząsteczka wydostanie się z pola grawitacyjnego planety. Dlatego wodór H2, którego masa molowa wynosi M = 2,02 g/mol i hel He, o masie M = 4,00 g/mol, praktycznie nie występują w atmosferze Ziemi.

Statystyka Maxwella-Boltzmanna

Statystyka Maxwella odnosi się do cząsteczek "ciężkich" (pierwiastków i związków chemicznych). W temperaturze wysokiej lub normalnej wszystkie cząsteczki znajdują się w innym stanie energetycznym, ponieważ w takich warunkach stanów jest o wiele więcej niż cząsteczek. To przybliżenie dotyczy wszystkich związków chemicznych i prawie wszystkich pierwiastków (poza helem i wodorem w temp. <0,5 K).

Zobacz też

rozkład Boltzmanna

rozkład Fermiego-Diraca

rozkład Gaussa

rozkład jednostajny

Przypisy

↑ "Podstawy chemii fizycznej" Peter William Atkins. Wydawnictwo PWN Warszawa 1999, str.35-37
"Fizyka. Moduł V. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika, I-II", Zbigniew Kąkol. Otwarte zasoby edukacyjne. Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. 2006. Pobrane z serwisu Open AGH http://www.open.agh.edu.pl
"Equilibrium and non-equilibrium statistical thermodynamics", Michel Le Bellac, Fabrice Mortessagne, Ghassan George Batrouni. 2004. Cambridge University Press. str. 116-119.