Rozkład prawdopodobieństwa - Polski Serwis Naukowy

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym, prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Istnieje też wersja dyskretna tego rozkładu oraz uogólnienie na dowolne nośniki.
Rozkład jednopunktowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa skoncentrowany w jednym punkcie przestrzeni. Można go zdefiniować jako rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje dokładnie jedną wartość prawie na pewno.

Definicja

Rozkładem prawdopodobieństwa nazywa się dowolną miarę probabilistyczną $P\;$ określoną na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni polskiej. Dla rozkładów ciągłych często jest nią zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb R$ (tzw. rozkład jednowymiarowy) lub przestrzeń euklidesowa $\mathbb{R}^n$ dla pewnej liczby naturalnej $n\;$ (rozkład wielowymiarowy).

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Funkcja przypisująca prawdopodobieństwo do konkretnej wartości zmiennej losowej jest nazywana funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (probability mass function, pmf). Zachodzi:
Rozkład zero-jedynkowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, szczególny przypadek rozkładu dwupunktowego, dla którego zmienna losowa przyjmuje tylko wartości: 0 i 1.

Zastosowanie dla zmiennych losowych

Zwykle rozważa się tzw. przestrzeń probabilistyczną, złożoną z przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega\;$ , określonego na niej σ-ciała $\mathcal F$ , którego elementy są nazywane zdarzeniami losowymi, oraz miary probabilistycznej $P\;$ , przyporządkowującej zdarzeniom liczby zwane prawdopodobieństwami. Tak określone prawdopodobieństwa są jednak niewygodne do badania, gdyż $\Omega\;$ może być dowolnym zbiorem, nawet bez zadanych jakichkolwiek relacji między jego elementami.

Funkcja charakterystyczna zbioru – jedno z pojęć matematycznych, mających zastosowanie w teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta (funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych).
Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.

Wprowadza się zatem funkcję mierzalną zwaną zmienną losową, która przyporządkowuje elementom przestrzeni zdarzeń elementarnych $\Omega\;$ elementy pewnej przestrzeni mierzalnej $Y\;$ o pożądanych właściwościach. Najczęściej wykorzystuje się przestrzeń euklidesową $Y=\mathbb R^n, n\in\mathbb N_{+}\;$ a zmienną nazywa się wówczas wektorem losowym. Czasem miano zmiennej losowej rezerwuje się tylko dla przypadku jednowymiarowego $Y=\mathbb R\;$ .

Rozkład beta – w statystyce i teorii prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [0,1] wzorem
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Obrazem każdego zdarzenia losowego (elementu rodziny $\mathcal F$ ) poprzez zmienną losową $X\;$ jest mierzalny podzbiór $Y\;$ . Mierzalne podzbiory $Y\;$ tworzą także σ-ciało $\mathcal B(Y)\;$ . Ponieważ zmienna losowa nie musi być funkcją różnowartościową, więc ten sam zbiór mierzalny $A\in\mathcal B(Y)\;$ można w ogólnym przypadku otrzymać z wielu różnych zdarzeń o różnych prawdopodobieństwach. Aksjomaty σ-ciała zapewniają, że wśród tych zdarzeń jest także ich suma i do niej jest przypisane największe prawdopodobieństwo. Suma ta jest równa przeciwobrazowi zbioru $A\;$ , czyli $X^{-1}(A)\;$ .

Rozkład Poissona (czyt. płasona) – rozkład dyskretny przedstawiający liczbę wystąpień zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób, jeśli wystąpienia te są niezależne od siebie. Rozkład ma zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości prawdopodobieństwa w rozkładzie dwumianowym przy dużej liczbie prób i niskim prawdopodobieństwie sukcesu.
Przestrzeń mierzalna i σ-ciało zbiorów – obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

Rozkład zmiennej losowej $X\;$ to funkcja $P_X\;$ określona na $\mathcal B(Y)\;$ wzorem $P_X(A) = P (X^{-1}(A)),\ A\in \mathcal B(Y)\;$ .

Rozkład $P_X\;$ jest nową miarą probabilistyczną. Jest on w przestrzeni stanów $Y\;$ odpowiednikiem miary probabilistycznej $P\;$ .
Uwaga: Zapis $P_X\;$ gdzie $X\;$ jest zdarzeniem a nie zmienną losową jest stosowany na oznaczenie prawdopodobieństwa warunkowego.

Wyróżnia się niżej omówione rozkłady ciągłe i dyskretne, jednak należy pamiętać, iż oprócz nich istnieją także rozkłady nie mieszczące się w żadnej z tych kategorii – na przykład rozkład o dystrybuancie Cantora.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (lub zbiór zdarzeń elementarnych, także przestrzeń próbek), oznaczana tradycyjnie grecką literą Ω, jest jednym z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego lub próby losowej.
Przestrzeń polska – specjalny rodzaj badanych w topologii i teorii mnogości przestrzeni topologicznych, nazwanych tak dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

Rozkład ciągły

Osobne artykuły: ciągły rozkład prawdopodobieństwa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa.

Jeżeli istnieje funkcja $f\colon Y\to [0,\infty)\;$ , taka że $P(A)=\int\limits_A~f(x)\;dx$

(całka Lebesgue'a) dla dowolnego zbioru borelowskiego $A \in \mathcal B(Y)$ , to funkcję tę nazywa się gęstością (rozkładu) prawdopodobieństwa lub funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Nazwa pochodzi od intuicji fizycznych, zob. gęstość masy. O rozkładzie $P\;$ mającym gęstość mówi się, że jest ciągły (lub typu ciągłego).

Powyższa definicja jest poprawna dla dowolnych rozkładów prawdopodobieństwa, także wielowymiarowych – wówczas $x\;$ jest wektorem.

Rozkład logarytmicznie normalny (albo logarytmiczno-normalny, log-normalny) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której logarytm ma rozkład normalny.
Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) - dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego.

Rozkład $P_X\;$ zmiennej losowej $X\;$ spełniający powyższe warunki definiuje się analogicznie. O zmiennej losowej również mówi się wówczas, iż jest ciągła (lub typu ciągłego).

Rozkład dyskretny

Osobne artykuły: dyskretny rozkład prawdopodobieństwa i funkcja masy prawdopodobieństwa.

Rozkład $P$ nazywa się dyskretnym, jeśli jest skupiony na zbiorze przeliczalnym, tzn. istnieje zbiór (co najwyżej) przeliczalny $S \subseteq Y$ dla którego $P(S) = 1$ . Jeżeli $S = \{s_i\colon i \in I\}$ oraz $p_i = P(\{s_i\})$ dla każdego $i \in I$ ,

to dla dowolnego zbioru borelowskiego $A$

Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.
Miara probabilistyczna a. prawdopodobieństwo – w matematyce, a szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, miara przyporządkowująca całej przestrzeni mierzalnej, na której jest określona, liczbę 1. W teorii miary nazywana jest miarą unormowaną.

$P(A) = P(A \cap S) = \sum_{i \in I}~p_i \boldsymbol 1_A(s_i)$ ,

gdzie $\boldsymbol 1_A$ to indykator (funkcja charakterystyczna) zbioru $A$ .

Zatem zbiór par $\{(s_i, p_i)\colon i \in I\}$ jednoznacznie wyznacza rozkład $P$ . Stąd dowolny zbiór tej postaci, gdzie $p_i > 0$ oraz $\sum p_i = 1$ (co wynika z własności rozkładu), nazywa się czasami rozkładem (dyskretnym). Odwzorowanie $s_i \mapsto p_i$ , oznaczane $\operatorname{pmf}(s_i) = p_i$ , nosi nazwę funkcji masy prawdopodobieństwa i jest ono dyskretnym odpowiednikiem gęstości prawdopodobieństwa.

Dyskretna zmienna losowa $X$ to zmienna losowa o rozkładzie dyskretnym. Wówczas można go zdefiniować podobnie jak wyżej równością

Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.
Rozkład Weibulla – ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.

$P_X(\{x_i\}) = P (X^{-1}(A))$ ,

jednakże w tym wypadku zachodzi dodatkowo $P (X^{-1}(A)) = P (\{\omega \in \Omega\colon X(\omega) = x_i\}) \overset\underset\mathrm{ozn}\ {=} P (X = x_i) \overset\underset\mathrm{ozn}\ {=} \operatorname{pmf}_X(x_i)$ ,

gdzie $\left\{x_i\right\}_{i \in I}$ jest zbiorem wszystkich wartości przyjmowanych przez zmienną $X$ .

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)