Rozmaitość różniczkowa - Polski Serwis Naukowy

Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacje otwartych podzbiorów pokrywających w sumie całą rozmaitość są funkcjami klasy co najmniej $C^1$ posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny. Parametryzacje te tworzą atlas. Bez założenia wielości map w atlasie, wiele rozmaitości nie mogłoby być rozmaitościami różniczkowymi, np. kula, dla której nie istnieje globalna i gładka parametryzacja.

Atlas – w topologii, dziale matematyki, opisuje sposób w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową. Każdy jej kawałek opisany jest za pomocą mapy (również: mapy współrzędnych lub lokalnego układu współrzędnych).

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Definicja

Zbiór $M \subseteq \mathbb R^N$ jest rozmaitością różniczkową (klasy $C^1$ i wymiaru $n$ , $0\leq n\leq N$ ), gdy:

$\forall_{p \in M}$ istnieje w $\mathbb R^N$ otwarte otoczenie $U \ni p$ oraz zbiór otwarty $V \subseteq \mathbb R^n$ i

homeomorfizm $\alpha: (U \cap M) \to V$ taki, że

odwzorowanie $\alpha^{-1}: V \to U \cap M$ jest klasy $C^1$ i

różniczka $D\alpha^{-1}(x)$ jest iniekcją dla każdego $x \in V$ .

Funkcję $\alpha$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $\alpha^{-1}$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.

Różniczka – w rachunku różniczkowym tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą x, to zmiana jej wartości często oznaczana jest Δx lub, gdy zmiana powinna być mała, δx. Różniczka reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Choć nie jest to precyzyjnie sformułowane matematycznie pojęcie, to jest ono niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Zbiór otwarty – podstawowe pojęcie topologii. W przestrzeni metrycznej (a w szczególności w przestrzeni euklidesowej) jest to zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewną kulę o środku w tym punkcie, tzn. taki, w którym dla każdego punktu zbioru istnieje otoczenie w całości zawarte w tym zbiorze.

Klasy

W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy $C^1$ funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy $C^r$ nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^r$ dla $r \in \mathbb N^* \cup \{\infty\}$ . Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy $C^0$ , z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy $C^\omega$ .

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Atlas – w topologii, dziale matematyki, opisuje sposób w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową. Każdy jej kawałek opisany jest za pomocą mapy (również: mapy współrzędnych lub lokalnego układu współrzędnych).

Zobacz też

rozmaitość topologiczna,

mapa,

atlas.