Rozmaitość topologiczna - Polski Serwis Naukowy

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Rozmaitość może oznaczać rozmaitość topologiczną lub, częściej, rozmaitość topologiczną z dodatkową strukturą. Rozmaitości różniczkowe są dla przykładu rozmaitościami topologicznymi wyposażonymi w strukturę różniczkową. Każda rozmaitość zawiera w sobie rozmaitość topologiczną uzyskiwaną po prostu przez zapomnienie dodatkowej struktury.

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii, będącej działem matematyki, zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

Uwaga: Artykuł ten przedstawia całościowo pojęcie rozmaitości skupiając się przy tym wyłącznie na topologicznych jej aspektach.

Definicja formalna

Przestrzeń topologiczna $X$ nazywana jest lokalnie euklidesową, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita $n$ taka, że każdy punkt w $X$ ma otoczenie, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$ .

Rozmaitość topologiczna to lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa. Definicję tę uzupełnia się często dodatkowymi wymaganiami: w szczególności wielu autorów określa je jako parazwarte lub spełniające drugi aksjomat przeliczalności. Powody i pewne warunki równoważne przestawiono niżej.

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. już skończona liczba zbiorów danego pokrycia tworzy pokrycie). Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywany jest zbiorem zwartym, gdy traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni z X) jest przestrzenią zwartą.

Konwencje

W dalszej części artykułu rozmaitość będzie oznaczać rozmaitość topologiczną. $n$ -wymiarowa rozmaitość lub krótko: $n$ -rozmaitość oznaczać będzie rozmaitość topologiczną, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $\mathbb R^n$ . Nietrywialne twierdzenie mówi, iż dla każdej rozmaitości spójnej $X$ istnieje jednoznacznie określona liczba całkowita $n$ taka, że $X$ jest $n$ -rozmaitością. Liczba ta nazywana jest wymiarem rozmaitości $X$ .

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.
Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.

W poniższych rozważaniach pod nazwą rozmaitość rozumiana będzie przestrzeń topologiczna spełniająca drugi aksjomat przeliczalności (tj. mająca przeliczalną bazę).

Oznaczenie literowe rozmaitości z górnym indeksem, na przykład $M^n$ oznaczać będzie $n$ -wymiarową rozmaitość.

Rozmaitość z brzegiem

Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa, która w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z półprzestrzenią euklidesową (dla ustalonego $n$ )

Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.
Przestrzeń parazwarta – przestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu x przestrzeni X istnieje takie otoczenie otwarte Ux, że Ux ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa "wpisać" w definicji nie można zastąpić słowem "wybrać". Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné w 1944 roku.

$\mathbb R^n_+ := \{(x_1, \ldots, x_n)\colon x_1 \geqslant 0\}.$

Niech $M$ będzie $n$ -wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem $M$ nazywa się zbiór punktów $M$ mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym $\mathbb R^n$ i oznacza $\operatorname{int}\;M$ . Brzeg $M$ , oznaczany $\partial M$ , to dopełnienie wnętrza $M$ w $M$ . Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej ( $x_n = 0$ ) półpłaszczyzny $\mathbb R^n_+$ w pewnym układzie współrzędnych.

Bordyzm - relacja równoważności w zbiorze klas dyfeomorfizmu rozmaitości zwartych. Na zbiorze abstrakcji można zdefiniować odpowiednie działanie, tak by miał on strukturę grupy lub pierścienia. Badanie relacji bordyzmu jest jednym z głównych nurtów w topologii algebraicznej.
Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.

Jeżeli $M$ jest rozmaitością z brzegiem wymiaru $n$ , to $\operatorname{int}\;M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n$ , a $\partial M$ jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru $n - 1$ lub zbiorem pustym.

Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.

Uwaga: Wnętrze i brzeg rozmaitości należy wyraźnie odróżnić od wnętrza i brzegu zbioru w topologii ogólnej.

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.
Aksjomaty przeliczalności – w topologii ogólnej własności topologiczne służące klasyfikacji przestrzeni topologicznych względem rozmiarów ich charakteru i ciężaru. W tym przypadku nazwa „aksjomat” ma charakter wyłącznie historyczny, dlatego nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.

Zwartość i aksjomaty przeliczalności

Rozmaitości zwarte są parazwarte i spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Te, które są zwarte, oraz dodatkowo nie mają brzegu nazywa się zamkniętymi.

Proste operacje

Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny $n$ -rozmaitości jest $n$ -rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.

Iloczyn kartezjański $m$ -rozmaitości $M^m$ z $n$ -rozmaitością $N^n$ jest $m+n$ -rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):

Wnętrze – w architekturze, obudowana przestrzeń zamknięta znajdująca się wewnątrz budowli, służąca określonym potrzebom materialnym i kulturowym człowieka.
Baza przestrzeni topologicznej - dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę - jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

$\partial(M^m \times N^n) = (\partial(M^n) \times N^n) \cup (M^n \times \partial(N^n))$

W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.

Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.

Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjąński jest rozdzielny względem sumy topologicznej.

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie robi”.
Półprzestrzeń – każda z dwóch części trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, na które dzieli tę przestrzeń płaszczyzna, wraz z tą płaszczyzną.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)