Rozszerzenie ciała - Polski Serwis Naukowy

Rozszerzenie ciała - w teorii ciał jest to większe w sensie inkluzji ciało zawierające dane ciało. Na przykład, ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności.

Rozszerzenie normalne - rozszerzenie ciała takie, że dla każdego elementu który należy do rozszerzenia, a nie należy do ciała każdy wielomian nierozkładalny, którego ten element jest pierwiaskiem, rozkłada się na czynniki liniowe w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z rozszerzenia. Rozszerzenia normalne odgrywają dużą rolę w teorii Galois.

Andrzej Białynicki-Birula (ur. 26 grudnia 1935, Nowogródek, Zachodnia Białoruś) – polski matematyk, profesor zwyczajny, członek rzeczywisty PAN, specjalizujący się w geometrii algebraicznej, jeden z pionierów algebry różniczkowej, autor uniwersyteckich podręczników algebry. Jego wczesne wyniki dotyczyły obszaru na granicy logiki i algebry. Współpracował wówczas z Heleną Rasiową. Opublikował też pracę naukową z topologii algebraicznej.

Każde rozszerzenie $L$ ciała $K$ jest przestrzenią liniową nad $K$ . Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez $[L:K]$ i nazywa stopniem rozszerzenia $L\supseteq K$ .

Rozszerzenie ciała o pierwiastki wielomianu

Z teorii równań algebraicznych wynika, że każdy niesprzeczny układ równań nad ciałem $K$ ma rozwiązanie w pewnym ciele $L$ . W szczególności, jeżeli $f$ jest wielomianem o współczynnikach z ciała $K$ , to istnieje rozszerzenie $L$ ciała $K$ , które zawiera pierwiastek $a$ wielomianu $f$ .

Charakterystyka – w algebrze dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita n, która spełnia

Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Mówimy, że ciało $L$ jest rozszerzeniem ciała $K$ o pierwiastek $a$ wielomianu $f\in K[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy $L=K(a)$ .

Dla przykładu, ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu $h(x)=x^2+1$ .

Jeśli $L$ jest rozszerzeniem ciała $K$ oraz $a\in L$ , to $K(a)=\{\tfrac{f(a)}{g(a)}\in L\colon\, f,g\in K[x], g(a)\neq 0\}$ .

Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadaku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu.

Element algebraiczny - uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Ciało rozkładu wielomianu

Mówimy, że ciało $L$ jest ciałem rozkładu wielomianu $f\in K[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $f$ rozkłada się w pierścieniu $L[x]$ na czynniki liniowe oraz $L=K(a_1, \ldots, a_m)$ ,

gdzie $a_1,\ldots, a_m$ są wszystkimi pierwiastkami $f$ w ciele $L$ .

Dla każdego wielomianu stopnia dodatniego istnieje jego ciało rozkładu. Dowolne dwa ciała rozkładu tego wielomianu są izomorficzne.

Rozszerzenie algebraiczne

Zapoznaj się również z: element algebraiczny.

Rozszerzenie $L$ ciała $K$ nazywamy algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element $a\in L$ jest algebraiczny nad $K$ .

Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Dla przykładu, każdy element ciała skończonego jest algebraiczny nad podciałem prostym, zawartym w tym ciele.

Dla rozszerzenia $L\supseteq K$ i $a\in L$ następujące warunki są równoważne

$a$ jest algebraiczny nad $K$ ,

$K[a]=K(a)$ ,

$[K(a):K]<\infty$ .

Stopien rozszerzenia $K(a)\supseteq K$ nazywa się stopniem elementu algebraicznego $a\in K$ . Stopień ten jest równy stopniowi wielomianu nierozkładalnego $f\in K[x]$ takiemu, że $f(a)=0$ , a także minimalnemu stopniowi niezerowego wielomianu $f\in K[x]$ takiego, że $f(a)=0$

Rozszerzenie rozdzielcze

Zapoznaj się również z: element rozdzielczy.

Rozszerzenie $L$ ciała $K$ nazywamy rozdzielczym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element $a\in L$ jest rozdzielczy nad $K$ .

Jeśli ciało $K$ ma charakterystykę równą $0$ , to każde jego rozszerzenie algebraiczne jest rozdzielcze. W szczególności, każde algebraiczne rozszerzenie ciała liczb wymiernych jest rozdzielcze.

Rozszerzenie czysto przestępne

Rozszerzenie $L$ ciała $K$ nazywamy czysto przestępnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór algebraicznie niezależny $A\subseteq L$ , taki że $K(A)= L$ .

Rozszerzenia skończone

Rozszerzenie $L$ ciała $K$ nazywa się skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony stopień, tzn. $[L:K]<\infty$ .

Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. Jeśli $K_2\supseteq K_1 \supseteq K$ jest ciągiem rozszerzeń ciał, to rozszerzenie $K_2\supseteq K$ jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenia $K_2\supseteq K_1$ i $K_1\supseteq K$ są skończone. Ponadto $[K_2:K]=[K_2:K_1]\cdot [K_1:K]$ .

Rozszerzenie normalne

Osobny artykuł: Rozszerzenie normalne.

Rozszerzenie $L$ ciała $K$ nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego $b\in L$ wielomian nierozkładalny $f\in K[x]$ , którego pierwiastkiem jest $b$ rozkłada się w $L[x]$ na czynniki liniowe.

Przypisy

W dalszej części artykułu, przez $\scriptstyle{K(a)}$ będziemy oznaczać najmniejsze w sensie inkluzji ciało zawierające zbiór $\scriptstyle{K\cup\{a\}}$ , natomiast przez $\scriptstyle{K[a]}$ najmniejszy w sensie inkluzji pierścień zawierający ten zbiór.

Literatura

Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.