Sfera - Polski Serwis Naukowy

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zapoznaj się również z: inne znaczenia.

Definicja intuicyjna:
Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli.
Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Sfera

Sfera – zbiór wszystkich punktów (miejsce geometryczne) w przestrzeni metrycznej (z reguły euklidesowej), oddalonych dokładnie o zadaną odległość (zwaną promieniem sfery) od wybranego punktu (zwanego środkiem sfery).

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

Sfera w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej

Najczęściej mówimy o sferze w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Taka sfera jest dwuwymiarową powierzchnią opisywaną wzorem: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,\;$

gdzie $(x_0, y_0, z_0)$ to współrzędne środka sfery, a wartość r jest nazywana jej promieniem.

Związane pojęcia

Cięciwa sfery to odcinek o końcach na sferze.

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Rozmaitość topologiczna – w matematyce przestrzeń topologiczna Hausdorffa wyglądająca lokalnie jak przestrzeń euklidesowa w sensie zdefiniowanym niżej. Rozmaitości topologiczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych o wielorakich zastosowaniach w matematyce.

Średnica sfery to:

cięciwa przechodząca przez środek sfery;

długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia sfery.

Pole powierzchni sfery wyraża się wzorem: $S=4\pi r^2.\;$

Koło wielkie sfery to okrąg o promieniu tej sfery, o środku w jej środku.

Krzywizna Gaussa sfery w każdym jej punkcie wynosi: $K = \frac{1}{r^2}.$

Uogólnienia

Zapoznaj się również z: hipersfera.

Pojęcie sfery może być uogólnione na inną liczbę wymiarów. Wówczas w przestrzeni n-wymiarowej sfera może być opisana następującym wzorem:

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Miejsce geometryczne – w geometrii zbiór punktów spełniających zadany warunek, np. pewna kula może być zdefiniowana jako miejsce geometryczne punktów odległych nie bardziej niż o r od środka układu współrzędnych.

$\sum_{j=1}^n (x_j-s_j)^2 =r^2,$

gdzie $x_j$ to j-ta współrzędna punktu na sferze, $s_j$ to j-ta współrzędna jej środka, r to promień sfery. W tym ujęciu okrąg jest szczególnym przypadkiem sfery w przestrzeni dwuwymiarowej, a zbiór dwóch punktów jest sferą w przestrzeni jednowymiarowej.

Sfera w przestrzeni n-wymiarowej jest czasem nazywana sferą m-wymiarową i oznaczana $S^m$ , gdzie $m = n-1$ , ponieważ taka sfera jest powierzchnią m-wymiarową. Dla przykładu, zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią czyli obiektem dwuwymiarowym; dlatego to sfera dwuwymiarowa, $S^2$ . Jeżeli $m>2$ (tzn. $n>3$ ), to taka uogólniona sfera jest nazywana też hipersferą.

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

Pojęcie sfery może być jeszcze bardziej uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną. Jest to wówczas zbiór elementów tej przestrzeni, odległych od jakiegoś elementu przestrzeni (zwanego środkiem sfery) o zadaną odległość (zwaną promieniem sfery) zgodnie z obowiązującą w danej przestrzeni metryką.

Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.

Sfera jest też pojęciem topologii, w której oznacza rozmaitość, homeomorficzną ze sferą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej.

Zobacz też

Zobacz hasło sfera w Wikisłowniku

kula

pseudosfera

pas sferyczny

rogata sfera Alexandera