Silnia - Polski Serwis Naukowy

Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Definicja

Funkcję $\cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0} \to \mathbb{N}_{+}$ definiuje się następująco: $n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1.\,\!$

Wzór ten nie podaje wartości 0!, określamy ją osobno: $0! = 1 \$ .

Poniżej definicja rekurencyjna

Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

$n!=\begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1 \end{cases}$

Przykłady: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Wartość n! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów.

Obliczenia przybliżone

Silnia pojawia się w tak wielu praktycznych zastosowaniach matematyki (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka), że szczególnej wagi nabiera problem szybkiego wyznaczania silni dużych liczb. Podane wyżej określenia silni nie nadają się do tego celu, dlatego na ogół wykorzystuje się przybliżony wzór Stirlinga:

Język Québec oraz Ontario, Nouveau-Brunswick, – ok. 8 mln osób. Ok. 201 milionów używa francuskiego na całym świecie jako języka głównego (oszacowanie z r. 2009 wg Organisation mondiale de la Francophonie) a 72 miliony jako drugiego języka codziennego (w tym krajach Maghrebu). Wiele z tych osób mieszka w krajach, gdzie francuski jest jednym z języków urzędowych bądź powszechnie używanych (54 kraje). Paradoksalnie, w Algierii, Maroku, i Tunezji, gdzie nie ma statusu języka urzędowego jest bardziej rozpowszechniony niż w wielu krajach Czarnej Afryki, gdzie jest jedynym językiem urzędowym i używa go 96 milionów ludzi.

Kombinacja bez powtórzeń to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0≤k≤n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
Wynika z niego także postać logarytmu silni: $\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \$
Przydatne jest również oszacowanie: $n!=o(n^n) \$
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła: $n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_n}$
gdzie $\frac{1}{12n+1} \leqslant \alpha_n \leqslant \frac{1}{12n}$
Uogólnienia

Funkcja gamma

Uogólnieniem pojęcia silni jest funkcja gamma.
Silnia podwójna n!!

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.
$n!!= \begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1 \\ n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2 \end{cases}$
Przykład: 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
Własności podwójnej silni: $n!=n!!(n-1)!!\,\!$ $(2n)!!=2^nn!\,\!$ $(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}\,\!$
zależność od funkcji gamma: $\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\,\!$
Uwaga:
W zapisie należy zawsze pamietać, że n!! oznacza silnię podwójną a nie silnię dla n!, która byłaby zapisana jako (n!)! i byłaby dużo większą liczbą od silni podwójnej dla tego samego n: 5!! = 15 (5!)! = 120! = 6 689 502 913 449 127 057 588 118 054 090 372 586 752 746 333 138 029 810 295 671 352 301 633 557 244 962 989 366 874 165 271 984 981 308 157 637 893 214 090 552 534 408 589 408 121 859 898 481 114 389 650 005 964 960 521 256 960 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈ 6,69·10 (liczba blisko 200-cyfrowa).
Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!. Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
Język czeski (cs. čeština lub český jazyk) – język z grupy języków zachodniosłowiańskich, stanowiących część rodziny języków indoeuropejskich. Najbliżej spokrewniony jest ze słowackim, śląskim, polskim, kaszubskim oraz dwoma językami łużyckimi.

$n!^{(k)}= \begin{cases} 1 & \mbox{ gdy }0\leqslant n<k \\ n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n\geqslant k \end{cases}$
Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat
Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze: $n!=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{ \alpha_{i} }=p_{1}^{ \alpha_{1} } \cdot p_{2}^{ \alpha_{2} } \cdot \ldots \cdot p_{k}^{ \alpha_{k} }$
to $\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$
tzn. liczba pierwsza $p_{i}$ pojawia się z wykładnikiem: $\alpha_{i} = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$
gdzie $\lfloor x \rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x$ .
Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru $f(n) = \sum_{i=1}^k \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{5^k} \right \rfloor, \,$
gdzie k musi spełniać warunek $5^{k} \leq n < 5^{k+1},\,$
Na przykład: 5 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się $\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,$
zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
Zobacz też

symbol Newtona

kombinatoryka

wariacja

permutacja

kombinacja

Bibliografia

Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, ss. 219.

Linki zewnętrzne

Zobacz w Wikiźródłach tabelę początkowych wartości silni

Zobacz w Wikiźródłach kod źródłowy programu obliczającego silnię

http://factorielle.free.fr (ang.), (fr.), (cz.)