Sinus - Polski Serwis Naukowy

Funkcje matematyczne

dziedzina i przeciwdziedzina
obraz i przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
stała • liniowa • kwadratowa
wielomianowa • wymierna
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Język rosyjski (русский язык, russkij jazyk; dawniej też język wielkoruski) – język należący do grupy oraz jest jednym z pięciu języków oficjalnych a jednocześnie jednym z sześciu języków konferencyjnych Organizacji Narodów Zjednoczonych. Posługuje się pismem zwanym grażdanką, graficzną odmianą cyrylicy powstałą na skutek jej upraszczania.
Język litewski (lietuvių kalba) - język z zespołu wschodniobałtyckiego języków bałtyckich, którym posługuje się ok. 5 mln osób. Oprócz Litwy językiem tym posługują się Litwini zamieszkujący na zachodzie Białorusi i północno-wschodniej Polsce (Suwalszczyzna), a także w Rosji, Łotwie oraz emigranci w USA, Kanadzie, Australii, Niemczech. Jest językiem urzędowym Litwy.

Funkcje teorioliczbowe

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

różnowartościowość • „na”
wzajemna jednoznaczność

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość
monotoniczność • ograniczoność
okresowość

ciągłość • jednostajna ciągłość
lipschitzowskość • hölderowskość
różniczkowalność • całkowalność

Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
Płaszczyzna zespolona (p. Arganda, Gaussa) – w matematyce, geometryczna reprezentacja współrzędnych zespolonych, tworzona przez oś rzeczywistą i oś urojoną. Można ją określić jako zmodyfikowany kartezjański układ współrzędnych, z częścią rzeczywistą reprezentowaną przez oś "x" i częścią urojoną reprezentowaną przez oś "y".

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Robotyka – interdyscyplinarna dziedzina wiedzy działająca na styku mechaniki, automatyki, elektroniki, sensoryki, cybernetyki oraz informatyki. Domeną robotyki są również rozważania nad sztuczną inteligencją – w niektórych środowiskach robotyka jest wręcz z nią utożsamiana.
Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

sinus – oznaczany w Polsce $\sin\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku $\alpha\;$ ) i długości przeciwprostokątnej $c\;$ ;

cosinus (lub kosinus) – oznaczany $\cos\;$ – stosunek długości przyprostokątnej przyległej $b\;$ do tego kąta $\alpha\;$ i przeciwprostokątnej $c\;$ ;

tangens – oznaczany w Polsce $\operatorname{tg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta $\alpha\;$ i długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta;

cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce $\operatorname{ctg}\;$ – stosunek długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do tego kąta $\alpha\;$ i długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw tego kąta;

secans (sekans) – oznaczany w Polsce $\sec\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność cosinusa;

cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce $\operatorname{cosec}\;$ lub $\operatorname{csc}\;$ – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i długości przyprostokątnej $a\;$ leżącej naprzeciw kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność sinusa.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki:

Język indonezyjski (Bahasa Indonesia) - od 1949 język urzędowy w Indonezji. Języka indonezyjskiego używa około 163 mln. osób, z czego dla 23 mln. jest to język ojczysty.
Andrzej Radwański ( ur. 20 listopada 1711 w Białej ( dawne Kieleckie), zm. 11 września 1762 w Krakowie), malarz polski. Był wybitnym twórcą kościelnych iluzjonistycznych polichromii ściennych. Malował obrazy religijne, ołtarzowe i portrety. Zasłynął jako malarz cechowy. Studia odbył w Krakowie, następnie w Brnie w Niemczech w pracowni Franciszka Ecksteina (1727-1731). W roku 1731 wrócił do Polski i do 1749 przebywał w Jędrzejowie, malując tam i dekorując kościoły okoliczne (1745—1746 kościół w Strzałkowie, 1747 kaplicę św. Anny w Sobkowie i kościół w Dmeninie, 1747 pałac biskupi w Kielcach). W Krakowie osiedla się od 1749 i maluje kaplice w kościele Panny Marii (1750, 1752—1754), kaplicę św. Jacka w Kościele Dominikanów (1757—1759), sklepienie w Kościele Franciszkanów (1757—1759), obrazy w kościele pijarów i t. d. Z kościołów okolicznych wiemy o dekorowaniu przez niego kościołów w Mstowie (1755), Staniątkach (1759), Zielonkach (1758) i Tyńcu (1754, 1762). W 1757 r. został R. seniorem cechu malarzy. Do jego najbliższej rodziny należeli syn Feliks Radwański starszy i Feliks Radwański młodszy, jego wnuk. Twórczość Andrzeja Radwańskiego ujawnia wpływ sztuki morawskiej i Szymona Czechowicza.

Dla miar kątów $\alpha\;$ większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych $\alpha\;$ powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

sinus versus:

$\operatorname{versin}\ \alpha=1-\cos \alpha$

haversin (ang. half of the versine):

$\operatorname{haversin}\ \alpha = \tfrac{1}{2}\ \operatorname{versin}\ \alpha$

cosinus versus:

$\operatorname{covers}\ \alpha=1-\sin \alpha$

exsecans:

$\operatorname{exsec}\ \alpha=\sec \alpha-1$

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi.

Definicja za pomocą kąta skierowanego

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli kąt skierowany $\alpha\;$ ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych $O\;$ , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu $O\;$ oraz zawierającą pewien punkt $M = (a, b)\;$ różny od $O\;$ , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego $\alpha\;$ określa się wzorami:

Półprosta to jednowymiarowa figura geometryczna powstała przez przecięcie prostej w dowolnie wybranym punkcie, nazywanym początkiem półprostej. Punkt ten, oraz wszystkie punkty prostej leżące po jednej jego stronie tworzą półprostą.
Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.

$\sin \alpha =\tfrac{b}{r}$ $\cos \alpha =\tfrac{a}{r}$ $\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}$ $\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}$ $\sec \alpha =\tfrac{r}{a}$ $\csc \alpha =\tfrac{r}{b}$

gdzie $r = |OM|\;$ .

Stosunki te nie zależą od położenia punktu $M\;$ na ramieniu kąta $\alpha\;$ (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego $\theta\;$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków: $\sin \theta =|AC|\$ $\cos \theta =|OC|\$ $\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\$ $\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\$ $\sec \theta =|OE|\$ $\csc \theta =|OF|\$

Dla miar kątów spoza przedziału $[0,\pi]\;$ konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:
Kompresja danych (ang. data compression) – polega na zmianie sposobu zapisu informacji tak, aby zmniejszyć redundancję i tym samym objętość zbioru. Innymi słowy chodzi o wyrażenie tego samego zestawu informacji, lecz za pomocą mniejszej liczby bitów.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas: $A=\left(\cos \theta,\sin \theta\right)$

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku $DA\;$ można przyjąć pole wycinka $OBDA\;$ – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do $OBDA\;$ .

Pierścień nilpotentny – w algebrze pierścień o tej własności, że każdy jego element przemnożony przez siebie pewną skończoną liczbę razy daje zero pierścienia. Formalnie, pierścień P nazywany jest nilpotentnym, gdy dla każdego a∈P istnieje liczba naturalna n taka, że a=0.
Statystyka – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

Sinus, czyli połowa długości cięciwy $AB\;$ , był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.

Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek $AE\;$ jest styczny do okręgu.

Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka $OE\;$ , odcinanego przez styczną (tangens).

Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego $\angle AOF$ . Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje.

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Osobny artykuł: wzór Taylora.

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.
Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Zachodzą równości: $\begin{align} \sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \mbox{tg}\ x &= x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad |x|<\tfrac{\pi}{2} \end{align}$ gdzie $B_n\;$ to liczby Bernoulliego $\begin{align} \mbox{ctg}\ x&= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =\\ &=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi\\ \sec x &= 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =\\ &=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad |x|< \tfrac{\pi}{2} \end{align}$ gdzie $E_n\;$ to liczby Eulera $\begin{align} \csc x &= \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =\\ &= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi \end{align}$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Diagnostyka obrazowa (obrazowanie medyczne) – grupa badań wykorzystująca różne rodzaje oddziaływania fizycznego do obrazowania zachodzących w ciele ludzkim zmian fizjologicznych i patologicznych. Mieści się na pograniczu radiologii i medycyny nuklearnej.
Nauki ścisłe to inaczej nauki matematyczne i przyrodnicze, czyli grupa nauk, które zajmują się badaniem otaczającego świata oraz konstruowaniem abstrakcyjnych modeli, mogących służyć do tego opisu.

Zapoznaj się również z: twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych $(s,c)\;$ taka, że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$ : $\begin{cases} s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\ s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\ c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\ 0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1 \end{cases}$

Tymi funkcjami są: $s(x)=\sin x, \quad c(x)=\cos x$

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować również jako jedyne funkcje $s(x)\;$ oraz $c(x)\;$ spełniające poniższe trzy warunki: $\begin{cases} s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{cases}$

Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz drogi do celu dla statków, pojazdów i innych przemieszczających się obiektów.
Szereg Fouriera – w matematyce szereg, pozwalający rozłożyć funkcję okresową, spełniającą warunki Dirichleta, na sumę funkcji trygonometrycznych. Nauka na temat szeregów Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera. Szeregi Fouriera zostały wprowadzone w 1807 roku przez Josepha Fouriera w celu rozwiązania równania ciepła dla metalowej płyty. Doprowadziło to jednak do przewrotu w matematyce i wprowadzenia wielu nowych teorii. Dziś mają one wielkie znaczenie między innymi w fizyce, teorii drgań, przetwarzaniu sygnałów, obrazów a nawet w muzyce (kompresja mp3 i jpeg).

$y^{\prime\prime}=-y$

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki: $\begin{cases} y(0)=0\\ y\,^\prime(0)=1 \end{cases}$

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego $\begin{cases} y(0)=1\\ y\,^\prime(0)=0 \end{cases}$

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych: $\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych:

Teoria muzyki – ogólne zasady i zagadnienia związane z muzyką (na ogół poważną) wyrażone w sposób czysto teoretyczny. W skład teorii muzyki wchodzi m.in. notacja muzyczna (zapis muzyczny), elementy dzieła muzycznego - skróty i oznaczenia, praktyka wykonawcza, harmonia, kontrapunkt.
Paul Du Bois-Reymond (ur. 2 grudnia 1831 w Berlinie, zm. 7 kwietnia 1889 w Fryburgu) - niemiecki matematyk, profesor w Fryburgu, Tybindzie i Berlinie. Zajmował się głównie równaniami cząstkowymi, równaniami całkowymi, rachunkiem wariacyjnym i szeregami Fouriera.

$\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\dots}}}}$ $\operatorname{tg}\ x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\dots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\dots}}}}$ $\operatorname{ctg}\ x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\dots}}}}$

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego.

Własności

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Przebieg zmienności funkcji

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności: Dziedzina i asymptoty

Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.

Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.

Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci $k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą.

Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , a cotangens i cosecans w punktach postaci $x=k\pi\;$ . Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

Przeciwdziedzina

Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału $[-1;1]\;$ . Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .

Ekstrema

Maksymalną wartość, w obu przypadkach $1\;$ , sinus przyjmuje w punktach $x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$ , a cosinus w punktach $x=2k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Minimalną wartość, dla obu funkcji $-1\;$ , sinus przyjmuje w punktach $x=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;$ , a cosinus w punktach $x=\pi+2k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Miejsca zerowe

Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci $x=k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Parzystość i nieparzystość

Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste: $\begin{array}{l l} \sin (-x) = -\sin x & \cos (-x) = \cos x \\ \mbox{tg}(-x) = -\mbox{tg}\ x & \mbox{ctg} (-x) = -\mbox{ctg}\ x \\ \mbox{sec} (-x) = \mbox{sec}\ x & \mbox{csc} (-x) = -\mbox{csc}\ x\end{array}$

Okresowość

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba $2\pi\;$ a tangensa i cotangensa $\pi\;$ : $\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k\pi) & \cos x = \cos(x + 2k\pi) \\ \mbox{tg}\ x = \mbox{tg} (x + k\pi) & \mbox{ctg}\ x = \mbox{ctg} (x + k\pi) \\ \mbox{sec}\ x = \mbox{sec} (x + 2k\pi) & \mbox{csc}\ x = \mbox{csc} (x + 2k\pi)\end{array}$

gdzie $k\;$ jest liczbą całkowitą. Ciągłość i różniczkowalność

Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

Odwracalność

Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.

Własności algebraiczne

Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.

Liczby $\sin x\;$ oraz $\cos x\;$ są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci $x=r\pi\;$ , gdzie $r\;$ jest liczbą wymierną.

Wykresy

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą).

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).
Inżynieria elektryczna jest działem inżynierii i zajmuje się badaniem i stosowaniem elektryczności i elektromagnetyzmu w różnych dziedzinach życia. Praktyków tej dziedziny nazywamy inżynierami elektrykami.

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor $\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]$ . Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

Sinusoida: wykres funkcji $y = \sin x\;$

Cosinusoida: wykres funkcji $y = \cos x\;$

Tangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{tg}\ x\;$

Cotangensoida: wykres funkcji $y = \operatorname{ctg}\ x\;$

Ultrasonografia, USG – nieinwazyjna, atraumatyczna metoda diagnostyczna, pozwalająca na uzyskanie obrazu przekroju badanego obiektu. Metoda ta wykorzystuje zjawisko rozchodzenia się, rozpraszania oraz odbicia fali ultradźwiękowej na granicy ośrodków, przy założeniu stałej prędkości fali w różnych tkankach równej 1540 m/s. W ultrasonografii medycznej wykorzystywane są częstotliwości z zakresu ok. 2-50 MHz. Fala ultradźwiękowa najczęściej generowana jest oraz przetwarzana w impulsy elektryczne przy użyciu zjawiska piezoelektrycznego (opisanego przez braci Curie na przełomie lat 1880-1881). Pierwsze doświadczenia nad wykorzystaniem ultrasonografii w diagnostyce prowadzone były w trakcie i zaraz po II wojnie światowej, a ultrasonografy wprowadzone zostały do szpitali na przełomie lat 60. i 70. XX wieku (jednym z pierwszych klinicznych zastosowań była diagnostyka płodu).
Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος – logos – "słowo") – nauka o przekazywaniu informacji w sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem. Współcześnie kryptologia jest uznawana za gałąź zarówno matematyki, jak i informatyki; ponadto jest blisko związana z teorią informacji, inżynierią oraz bezpieczeństwem komputerowym.

Wykres funkcji secans $y = \sec x = \frac{1}{\cos x}\;$

Wykres funkcji cosecans $y = \csc x = \frac{1}{\sin x}\;$

Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°:

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci $\tfrac{n\pi}{m}, n\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N_+}$ dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka $\tfrac{n}{m}$ liczba $m\;$ jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537). W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1° gdyż $1^\circ=\tfrac{\pi}{180}$ a $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$ ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na $m\;$ jest identyczny jak warunek konstruowalności $m\;$ -kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Sir Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest nieco uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych.
Rynek finansowy - miejsce, gdzie dokonuje się transakcji środkami pieniężnymi. Przedmiotem rynku finansowego są walory finansowe występujące w postaci zmaterializowanej lub zdematerializowanej.

Wzory redukcyjne

Osobny artykuł: Trygonometryczne wzory redukcyjne.

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału $[0,\tfrac{\pi}{2})\;$ czyli $[0^\circ,90^\circ)\;$ :

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać $90^\circ \pm \alpha$ bądź $270^\circ \pm \alpha$ , w przypadkach $0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha$ oraz $180^\circ \pm \alpha$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce wg tabeli:

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Regiomontanus, właśc. Johannes Müller (ur. 6 czerwca 1436 w Unfinden koło Königsbergu w dzisiejszej Bawarii, zm. 6 lipca 1476 w Rzymie) – niemiecki matematyk, astronom i astrolog.

Ćwiartki układu współrzędnych

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora: W pierwszej ćwiartce są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi: W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Osobny artykuł: Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

Āryabhaṭa (dewanagari: आर्यभट) (ur. 476 w Kusumapura (dzisiaj Patna), zm. 550) – matematyk i astronom hinduski, uznawany za jednego z najwybitniejszych w historii Indii. Wprowadził cyfry arabskie będące w powszechnym użyciu do dnia dzisiejszego. Jego najsłynniejszą pracą jest Aryabhatiya, którą opracował w 499 r. - miał wówczas 23 lata.
Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym (przestrzenie unitarne).

jedynka trygonometryczna:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,$

definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa):

$\begin{matrix} \operatorname{tg}\ \alpha=\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ & \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha=\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},& \alpha\neq k\pi \end{matrix},\quad k\in\mathbb{Z}$

Geometryczny dowód wzoru $\sin (\alpha+\beta) =\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

$\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,$ $\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,$

wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2$ $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2$ $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2$

wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,$ $\left.\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \right.$

wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

$\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}$ $\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}$

iloczyn w postaci sumy:

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2$ $\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2$ $\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2$

wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

$\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$ $\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)$ $\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$ $\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$ $\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$ $\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$ $\begin{matrix} \color{red}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{red}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{red}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{red}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}$

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca pod względem ilościowym stan układu fizycznego (materii) (z punktu widzenia termodynamiki niektóre formy energii są funkcjami stanu i potencjałami termodynamicznymi), stan i wzajemne oddziaływania obiektów fizycznych (ciał, pól, cząstek, układów fizycznych), przemiany fizyczne i chemiczne oraz wszelkiego rodzaju procesy występujące w przyrodzie.
Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości: $\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$ $\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$ $\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$ $\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2\, x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$ $\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg}\, x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$ $\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg}\, x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów: $\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$ , $\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}$ .

Wzory na n-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane.

Całki funkcji trygonometrycznych

Zobacz więcej w artykule Całkowanie przez podstawienie, w sekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Podstawowe całki to: $\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C,$ $\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C,$ $\int\operatorname{tg}\, x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C,$ $\int\operatorname{ctg}\, x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C,$ $\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg}\, x|+C,$ $\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg}\, x|+C,$

gdzie $C\in\mathbb{R}$ .

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R(\sin x, \cos x)\;$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie: $t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}$

Wówczas: $\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2}$ $\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}$ $\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}$ $\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2}$ $\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t}$ $\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2}$ $\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

Architektura (gr. αρχιτεκτονική architektonike) – czynność projektowania i konstruowania budynków oraz innych struktur przez osobę lub komputer, głównie dla zapewnienia schronienia. Szersza definicja często włącza projekt całości otoczenia od skali makro, czyli jak budynek zintegruje się z otoczeniem, do skali mikro, czyli detale architektoniczne i konstrukcyjne, czasami meble miejskie. Jako zajęcie, architektura to rola osób i komputerów zapewniających usługi architektoniczne. Jako dokumentacja, zazwyczaj bazuje na rysunkach, architektura definiuje charakter budynku. Architekci za główne zadanie mają zapewnienie potrzeb przestrzennych i mieszkaniowych w pewnych grupach przez kreatywne organizowanie materiałów oraz komponentów, biorąc pod uwagę masę, przestrzeń, formę, głośność, teksturę, strukturę, światło, cień, materiały, program oraz pragmatyczne elementy takie jak: koszt, limity technologiczne i konstrukcyjne, aby osiągnąć równowagę z funkcjonalnym, ekonomicznym oraz często z artystycznymi i estetycznymi aspektami. To odróżnia architekturę od inżynierii.
Ray tracing (dosłownie: śledzenie promieni) - technika generowania fotorealistycznych obrazów scen trójwymiarowych. Opiera się na analizowaniu tylko tych promieni światła, które trafiają bezpośrednio do obserwatora. W ray tracingu rekursywnym dodatkowo bada się promienie odbite zwierciadlane oraz załamane.

okresowość (w tym okres podstawowy),

tożsamości trygonometryczne,

miejsca zerowe,

punkty nieokreśloności:

sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,

tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci $\tfrac{(2k-1)\pi}{2}\;$ , a cotangens – punktów postaci $k\pi\;$ , gdzie $k\;$ jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od $1\;$ , w szczególności:

Trygonometria – dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ badania astronomiczne.
Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i, tj. pierwiastek wielomianu x + 1 (innymi słowy, jednostka urojona spełnia równanie i = − 1). Każda liczba zespolona z może być zapisana w postaci z = a + bi, gdzie a,b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną liczby z.

$\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty

Argument $\varphi\;$ oblicza się według wzorów: $\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{Im}\ \omega}{|\omega|}$ $\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{Re}\ \omega}{|\omega|}$ ,

gdzie $\omega\;$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

Osobny artykuł: Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

Język japoński (日本語 nihongo lub nippongo) – język używany przez ok. 130 mln mieszkańców Japonii oraz japońskich emigrantów na wszystkich kontynentach.
Kąt prosty – kąt płaski przystający do swojego kąta przyległego; w zależności od przyjętej jednostki miara łukowa kąta prostego wynosi odpowiednio: π/2 rad (radian), 90° (stopień), 100 (grad). W polskiej literaturze matematycznej kąt prosty oznacza się kropką, w literaturze krajów anglojęzycznych stosuje się oznaczenie kwadracikiem (zob. rys. obok).

$e^{iz}=\cos z+i\sin z\;$

Wynika z niego, iż: $\sin z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ $\cos z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ $\operatorname{tg} z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{ (e^{iz} + e^{-iz})i}$ $\operatorname{ctg} z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}}i$ $\sec z = \tfrac{2}{e^{iz} + e^{-iz}}$ $\csc z = \tfrac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}}$

gdzie:

$e\;$ jest stałą, zwaną podstawą logarytmu naturalnego

$i\;$ jest jednostką urojoną

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku

Funkcja sinus

Funkcja cosinus

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).
Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Inaczej mówiąc jest to funkcja o wartościach rzeczywistych.

Funkcja tangens

Funkcja cotangens

Funkcja secans

Funkcja cosecans

Kod kolorów

Związki z innymi funkcjami

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Osobny artykuł: Funkcje cyklometryczne.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres.

Język fiński (suomi, IPA: /ˈsuɔmi/, suomen kieli) – język należący do podgrupy języków bałtyckofińskich, zaliczanej do podrodziny języków ugrofińskich z rodziny uralskiej. Najbliżej jest spokrewniony m.in. z językiem estońskim oraz językami ludów północno-zachodniej Rosji, dalsze pokrewieństwo łączy go z językiem węgierskim.
Język Québec oraz Ontario, Nouveau-Brunswick, – ok. 8 mln osób. Ok. 201 milionów używa francuskiego na całym świecie jako języka głównego (oszacowanie z r. 2009 wg Organisation mondiale de la Francophonie) a 72 miliony jako drugiego języka codziennego (w tym krajach Maghrebu). Wiele z tych osób mieszka w krajach, gdzie francuski jest jednym z języków urzędowych bądź powszechnie używanych (54 kraje). Paradoksalnie, w Algierii, Maroku, i Tunezji, gdzie nie ma statusu języka urzędowego jest bardziej rozpowszechniony niż w wielu krajach Czarnej Afryki, gdzie jest jedynym językiem urzędowym i używa go 96 milionów ludzi.

Harmoniki

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora

Osobny artykuł: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci $u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;$ ,
gdzie:
$A\;$ – amplituda

$\omega\;$ – prędkość kątowa (pulsacja)

$\phi\;$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.
Oś współrzędnych - oś liczbowa wykorzystywana do budowy układu współrzędnych, pozwalająca na jednoznaczne określenie położenia punktu przez określenie jego współrzędnych.
Krystalografia (od greckich słów κρύσταλλος krystallos – „lód”, które później zaczęło oznaczać także kryształ górski i inne kryształy, oraz γράφω grapho – „piszę”) – dział nauki zajmujący się opisem, klasyfikacją i badaniem kryształów, krystalitów oraz substancji o strukturze częściowo uporządkowanej. Jej zakres pokrywa się częściowo z mineralogią, fizyką ciała stałego, chemią i materiałoznawstwem.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego: $x^{\prime\prime}=-kx$
którego rozwiązaniami są harmoniki.
Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.
Funkcje Mathieu to funkcje specjalne w fizyce, odpowiadające stanom własnym równania Schrödingera, wahadła matematycznego. Również funkcje Blocha jednowymiarowego ciała stałego o potencjale harmonicznym.

Funkcje hiperboliczne

Osobny artykuł: Funkcje hiperboliczne.

Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób: $\left\{ \begin{matrix} W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{matrix} \right.$
Jeśli warunek W2 zmienić na: $\begin{matrix} W2^\prime \colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2) \end{matrix}$
wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh). Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.
Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych, tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1, gdy argument jest liczbą wymierną i wartość 0, gdy argument jest liczbą niewymierną.
Obwód rezonansowy LC jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, składającym się z cewki (L) i kondensatora (C), bez udziału rezystancji (R). W obwodzie tym zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym). Rysunek po prawej stronie pokazuje schemat obwodów rezonansowych: szeregowego i równoległego.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego $x^2+y^2=1\;$
należy wziąć hiperbolę o równaniu
Język ukraiński (українська мова, ukrajinśka mowa) to język należący do grupy języków wschodniosłowiańskich. Posługuje się nim ponad 47 mln ludzi, głównie na Ukrainie, gdzie ma status języka urzędowego, używany jest również przez Ukraińców w Rosji, Stanach Zjednoczonych, Kanadzie, Mołdawii, Polsce i na Białorusi. Współczesny alfabet ukraiński stanowi odmianę cyrylicy, a obecna ortografia ustalona została zasadniczo na początku XX wieku.
Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
$x^2-y^2=1\;$
Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny.
Miejsce zerowe – w matematyce argument funkcji, dla którego przyjmuje ona wartość zerową. Czasem miejsce zerowe nazywa się w skrócie zerem funkcji bądź jej pierwiastkiem.
Język hiszpański – język należący do rodziny romańskiej języków indoeuropejskich. Współczesne standardy literackie (z Hiszpanii i Ameryki hiszpańskojęzycznej) wywodzą się ze średniowiecznego języka kastylijskiego. Jeszcze dziś język hiszpański bywa nazywany kastylijskim, dla odróżnienia go od innych języków używanych w Hiszpanii (zob. niżej).

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.
Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych: $\begin{align} \sinh x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \cosh x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}\\ \operatorname{tgh}\,x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\ \operatorname{ctgh}\,x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \end{align}$
Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych: $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\;$ $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\;$ $\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x\;$
Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone.
Współrzędne geograficzne – szerokość i długość geograficzna mierzone w stopniach, minutach i sekundach kątowych. Początkiem układu współrzędnych geograficznych jest przecięcie się południka zerowego (Greenwich) z równikiem, znajdujące się na południowy zachód od wybrzeży Afryki, w rejonie Zatoki Gwinejskiej.
Robert z Chester lub Robertus Castrensis (ur. ?– zm. ?) – angielski skryba-arabista i matematyk z XII wieku. Jest autorem przekładu na język łaciński kilku ważnych dzieł napisanych przez arabskich naukowców z Kalifatu kordobańskiego.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)