Składanie funkcji - Polski Serwis Naukowy

Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Definicja

Niech $f: X \to Y$ oraz $g: Y \to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h: X \to Z$ taką, że: $h(x)=g\left(f(x)\right)$ .

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ$ . Dla powyższych funkcji

Funkcja tożsamościowa a. identycznościowa – w matematyce funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego; intuicyjnie funkcja, która „nic nie robi”.

Półgrupa to struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór wraz z określonym w nim działaniem, przy czym działanie to musi być łączne i wewnętrzne. Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

$h = g \circ f$ ,

zatem $h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x)$ .

Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f \circ g \circ h$ .

Z istnienia złożenia $g \circ f$ nie wynika istnienie $f \circ g$ . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z$ . Mamy wówczas $f \circ g\colon Y \to Y$ , w takim przypadku $f \circ g$ na ogół różni się od funkcji $g \circ f$ .

Przykład

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1$ i $g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2$ . Wtedy

Zbiór (niegdyś mnogość, wielość) – jedno z fundamentalnych pojęć współczesnej matematyki, w teorii mnogości (teorii zbiorów) przyjmowane jako pojęcie pierwotne. Intuicyjnie: kolekcja, zestaw niepowtarzających się obiektów bez wyróżnionej kolejności nazywanych elementami.

Grupa permutacji – grupa wszystkich bijekcji pewnego zbioru w siebie (czyli permutacji) z działaniem składania pełniącego rolę działania grupowego i identycznością jako elementem neutralnym. Elementem odwrotnym do danego jest funkcja (permutacja) odwrotna do danej, która zawsze istnieje z definicji bijekcji.

$(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , natomiast $(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1$ .

Widać, iż $g \circ f$ jest inna niż $f \circ g$ .

Struktura grupy

Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

$\Sigma_X$ , czyli grupa symetryczna danego zbioru $X$ , oznaczana również przez $S_X$ albo $\operatorname{Sym}(X)$ , czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X \to X$ .

Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X \to X$ jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X \to X$ , to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f \circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^2$ . Analogicznie, $f^3 = f \circ f \circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra (S,e, * ), sygnatury (0,2), gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiast

Dodatkowo funkcję $f$ , dla której $(f \circ f)(x) = x$ nazywamy inwolucją.

Tradycyjnie f jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)$ dla każdego $x \in X$ . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ zapis $\sin^2 x$ oznacza właśnie $\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2$ .

Zobacz też

funkcja odwrotna

reguła łańcuchowa