Soliton - Polski Serwis Naukowy

Soliton wytworzony w wodzie.

W matematyce i fizyce soliton to samopodtrzymująca się odosobniona fala wywołana przez efekty nieliniowe występujące w materiale, w którym fala ta się rozchodzi. Solitony towarzyszą wielu zjawiskom fizycznym; pojawiają się też jako rozwiązania nieliniowych cząstkowych równań różniczkowych.

Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.
Teoria pola (fizyka), dział fizyki wypracowujący metody badania oraz badajaca pola fizyczne, czyli obszary w których występują zjawiska fizyczne. Fizycy matematyzując problem opisują te zjawiska poprzez przypisanie każdemu punktowi przestrzeni matematycznego obiektu, co odpowiada określeniu pewnej funkcji na przestrzeni, w której występuje pole.

Zjawisko solitonu zostało po raz pierwszy opisane przez Johna Scotta Russella, który zaobserwował falę solitonu w kanale wodnym (Union Canal, Wielka Brytania), a następnie odtworzył to zjawisko w specjalnie przygotowanym zbiorniku wodnym. Zaobserwowaną falę Russell nazwał "falą przesunięcia" (ang. wave of translation).

Teorie wielkiej unifikacji (GUT z ang. Grand Unification Theory) – teorie łączące chromodynamikę kwantową i teorię oddziaływań elektrosłabych. Przedstawiają one oddziaływanie silne, słabe i elektromagnetyczne jako przejaw jednego, zunifikowanego oddziaływania. Żadna z dotychczasowych teorii wielkiej unifikacji nie została potwierdzona doświadczalnie.
Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego.

Trudno precyzyjnie zdefiniować czym jest soliton. Drazin and Johnson (1989) zdefiniowali soliton jako rozwiązanie układu nieliniowych równań różniczkowych, które

reprezentuje fale o niezmiennym kształcie,
jest zlokalizowane tak, że zanika lub osiąga stałą wartość w nieskończoności,
może oddziaływać silnie z innymi solitonami, ale po kolizji zachowuje niezmienioną formę – występuje tylko przesunięcie fazy

Wielu autorów podkreśla, że solitony mogą zmieniać swój kształt okresowo, a ich wyróżnikiem jest zdolność do kolizji niedestrukcyjnych. Znane są także solitony dwu oraz trójwymiarowe (tzw. pociski świetlne).

Reprezentacja grupy – w teorii grup każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.
Zjawisko fizyczne – przemiana, na skutek której zmieniają się tylko właściwości fizyczne ciała lub obiektu fizycznego, natomiast właściwości chemiczne pozostają bez zmian. Definicja używana przez chemików.

Twierdzenie Derricka

Dla wielu modeli teorii pola w $(d+1)$ -wymiarowej czasoprzestrzeni dla $d > 1$ można pokazać, że nie istnieją nietrywialne statyczne rozwiązania równań pola (Derrick 1964), ani stabilne, ani nawet niestabilne.

W teorii $n$ pól skalarnych $\varphi^a$ ( $a \in \overline{1, n}$ ) z gęstością lagranżjanu $\mathcal{L} = \frac12 F_{ab}(\varphi) \partial_\mu \varphi^a \partial^\mu \varphi^b - V(\varphi)$

solitony mogą istnieć tylko dla $d = 1$ i dla $d = 2$ w teoriach bez członu potencjalnego i ze skomplikowanym członem kinetycznym.

Fala - zaburzenie rozprzestrzeniające się w ośrodku lub przestrzeni. Fale przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii. W przypadku fal mechanicznych cząstki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi.
WDM (ang. Wavelength Division Multiplexing) – zwielokrotnianie w dziedzinie długości fali, jest to rodzaj technologii zwielokrotniania sygnałów, za pomocą światła laserowego.

W teorii pola cechowania z gęstością lagranżjanu $\mathcal{L} = \frac1{2g^2} \operatorname{tr} F_{\mu\nu}^2 + (D_\mu \varphi)^\dagger (D^\mu \varphi) - V(\varphi)$ ,

gdzie pole $\varphi$ transformuje się zgodnie z reprezentacją $T$ , która może być redukowalna, $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]$ i $D_\mu \varphi = [\partial_\mu + T^a A_\mu^a] \varphi$ , solitony mogą istnieć tylko dla $d \leq 3$ w teoriach z funkcjami skalarnymi i dla $d = 4$ w teoriach z czystym polem cechowania.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)