Spinor - Polski Serwis Naukowy

Spinor to obiekt geometryczny o specyficznych własnościach transformacyjnych. Spinory transformują się względem reprezentacji spinorowej (ułamkowej) grupy przekształceń.

Reprezentacje

W przestrzeni egzystują różne obiekty geometryczne. Aby opisać obiekty geometryczne, wprowadzamy układ współrzędnych, pozwalający na wyrażenie składowych obiektów geometrycznych. Układ współrzędnych można wybrać na wiele sposobów. Składowe obiektów geometrycznych są inne w każdym układzie współrzędnych.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.
Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

Aby przeprowadzić jeden układ współrzędnych w drugi, podaje się transformację zamieniającą wektory bazowe pierwszego układu współrzędnych na wektory bazowe drugiego. Transformacje układów tworzą grupę.

Reprezentacja grupy, jest to taki zbiór macierzy, że każdemu elementowi grupy odpowiada jakaś macierz i elementowi będącemu wynikiem działania grupowego elementów $\; A \;$ i $\; B \;$ odpowiada macierz będąca iloczynem macierzy odpowiadającej elementowi $\; A \;$ i macierzy odpowiadającej elementowi $\; B \;$ . Reprezentacja jest więc homomorfizmem grupy w algebrę macierzy z mnożeniem.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.
Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Macierz odpowiadającą elementowi $\; A \;$ oznaczać będziemy symbolem $\; D(A) \;$ . Gwiazdka oznacza działanie grupowe. $\; D(A * B) = D(A) D(B) \;$

Termin macierz może się czasem odnosić do trywialnej macierzy 1x1, którą można utożsamić ze zwykłą liczbą.

Czasami zamiast mnożenia macierzy bierze się jakieś inne proste działanie na macierzach. Przykładowo, może to być 'mnożenie odwrotne' (jak wiadomo, mnożenie macierzy nie jest przemienne). Działanie to musi być łączne. W takim wypadku reprezentacja jest więc antyhomomorfizmem grupy w algebrę macierzy. $\; D(A * B) = D(B) D(A) \;$

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.
Reguła Pauliego, zwana też zakazem Pauliego, została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1925 dla wyjaśnienia zachowania się fermionów, czyli cząstek o spinie połówkowym. Reguła Pauliego jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia o związku spinu ze statystyką.

czytaj dalej: [2], [3]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)