Sprzężenie zespolone - Polski Serwis Naukowy

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo $\overline{3 + 2i} = 3 - 2i$ $\overline{i} = -i$ $\overline{5} = 5$ $\overline{-2 - 3i} = -2 + 3i$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z = a + bi$ , gdzie $a, b \in \mathbb R$ jest liczba $a - bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ i oznaczana zwykle symbolem $\overline z$ . W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^\star$ .

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $r e^{i\phi}$ dane jest przez $r e^{-i \phi}$ . Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Uwagi

Geometryczna reprezentacja $z$ i jego sprzężenia $\overline{z}$ na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$ -ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$ -ów zawiera wielokrotności liczby $i$ . Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x$ .

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i$ , jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^2 = -1$ dla $x \in \mathbb R$ . Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg(z).

Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli $\overline{({\overline z})} = z$ . Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z, w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

$\overline r = r$ .

Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych: $\overline {z + w} = \overline z + \overline w$ .

Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych: $\overline {z w} = {\overline z}\;{\overline w}$ .

Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby: $|\overline z| = |z|$ .

Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem: $\arg({\overline z}) = -\arg(z)$

Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi: $z + \overline z = 2\operatorname{Re}\;z$ .

Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi: $z \overline z = |z|^2$ , stąd też $|z| = \sqrt{z \overline z}$ .

Jeżeli $z = ri$ , czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej: $\overline z = -z \Leftrightarrow z = ri, \quad -z = -ri = \overline z$

Jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to $\overline z$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus: + .

Liczba urojona to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Gerolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1700–1783) i Gaussa (1777–1855).

$\mathbf A = [a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf A = [\overline{a_{ij}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

$\mathbf A = \begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto \overline \mathbf A = \begin{bmatrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{bmatrix}$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a + bi + cj + dk$ jest kwaternion $a - bi - cj - dk$ . Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ można określić je wzorem $f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2$ , a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Jednostka, jedność urojona (łac. imaginarius, urojony, zmyślony) – w matematyce pewna ustalona liczba zespolona oznaczana zwykle literą i (czasami również j), która spełnia równanie

Działanie jednoargumentowe – w algebrze ogólnej działanie algebraiczne przyjmujące jeden argument, czyli funkcja danego zbioru w siebie, tzn. przyporządkowująca każdemu elementowi danego zbioru element tego samego zbioru. Niekiedy wyraz „działanie” zastępuje się słowem „operacja”, czy „operator”, z kolei synonimem słowa „jednoargumentowy” są wyrazy „jednoczłonowy” i „unarny”.

Zobacz też

liczby zespolone,

moduł liczby zespolonej,

argument liczby zespolonej,