Stała Michaelisa - Polski Serwis Naukowy

Stała Michaelisa (Km) – jest to takie stężenie substratu, przy którym szybkość reakcji enzymatycznej jest równa połowie szybkości maksymalnej (Vmax) tej reakcji. Stała ta jest wyrażana w molach na dm³ i określa powinowactwo enzymu do substratu: im jest mniejsza, tym powinowactwo jest większe, natomiast duża wartość tej stałej mówi o małym powinowactwie enzymu do substratu.

Skala pH – ilościowa skala kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych. Skala ta jest oparta na aktywności jonów hydroniowych [H3O+] w roztworach wodnych.

Wartość stałej Km dla większości enzymów przyjmuje wartości z zakresu 10 do 10 mol/dm

Równanie Michaelisa-Menten opisuje zależność szybkości reakcji od stężenia substratu: $v=\frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]}$

Postać Km = [S] jest matematycznym zapisem definicji stałej Michaelisa. Analizując równanie Michaelisa-Menten można dojść do wniosku, iż przy stałym stężeniu enzymu, szybkość reakcji w pewnych granicach zależy od stężenia substratu, na wykresie zależności szybkości reakcji od stężenia substratu widać że:

przy niewielkim stężeniu substratu w stosunku do stężenia enzymu, pojawia się zależność liniowa, między stężeniem substratu a szybkością reakcji, ta sytuacja odpowiada reakcji pierwszego rzędu opisywanej równaniem kinetycznym $v=k[A]$

w przypadku dużego stężenia substratu, szybkość reakcji zbliża się do jej maksymalnej wartości i stężenie substratu nie ma wpływu na szybkość reakcji, sytuacja ta odpowiada kinetyce zerowego rzędu opisywanej równaniem $v=k$ . Tego typu reakcja ma miejsce w przypadku całkowitego wysycenia enzymu substratem.

Co wpływa na stałą Michaelisa:

rodzaj i stężenie substratu

temperatura

siła jonowa

Stała Km nie zależy od stężenia enzymu!

Co wynika ze stałej Michaelisa:

Ponieważ mówi ona przy jakim stężeniu szybkość reakcji osiąga wartość maksymalną, jej wartość jest pomocna w przypadkach oznaczania i badania enzymów.

Wyprowadzenie równania

Prawdziwość powyższego równania opiera się na przedstawionym poniżej schemacie reakcji na dwóch kluczowych założeniach: całkowite stężenie enzymu i stężenie produktu pośredniego nie zmieniają się w czasie. Najbardziej odpowiednim równaniem Michaelisa-Menten jest równanie opisane przez Briggsa i J. B. S. Haldane, które przedstawiono poniżej (należy zauważyć, że eksperymentalny parametr kcat również jest używany, ale w tym przypadku jest równy parametrowi kinetycznemu k2):

Założono, że reakcja enzymatyczna jest nieodwracalna, a produkt nie kompleksuje się z enzymem. $E + S \overset{k_1}\underset{k_{-1}}{\begin{smallmatrix}\displaystyle\longrightarrow \\ \displaystyle\longleftarrow \end{smallmatrix}} ES \overset{k_2} {\longrightarrow} E + P \qquad \qquad (1)$

Pierwszym założeniem w tym wyprowadzeniu jest pseudo-stan równowagi chemicznej, założenie określające, że stężenie enzymu połączonego z substratem ([ES]) zmienia się wolniej niż stężenie produktu ([P]) i substratu ([S]). To umożliwia nam ustalenie stopnia zmian [ES] jako zero a także zapisanie stopnia tworzenia produktu jako: $\begin{align} \frac{d{[}ES{]}}{dt} &= k_1{[}E{]}{[}S{]} - {[}ES{]} (k_{-1} + k_2) \; \overset{!} = \;0 \qquad (2) \\ \frac{d{[}P{]}}{dt} &= k_2 {[}ES{]} \qquad (3) \\ \end{align}$

Drugim kluczowym założeniem jest to, że całkowite stężenie enzymu ([E]0) nie zmienia się w czasie, zatem możemy zapisać całkowite stężenie enzymu [E]0 jako sumę wolnego enzymu w roztworze [E] i tego, który jest już związany z substratem [ES]: ${[}E{]}_0 = {[}E{]} + {[}ES{]} \; \overset{!} = \; \text{const}.$

Podstawiając to do równania (2), otrzymujemy wyrażenie na [ES] które w rezultacie może być wykorzystane w równaniu (3) aby znaleźć równanie na stopień tworzenia produktu: $\begin{align} 0 &= k_1{[}S{]}({[}E{]}_0 - {[}ES{]} ) - {[}ES{]} (k_{-1} + k_2) \\ k_1{[}S{]}{[}E{]}_0 &= k_1{[}S{]}{[}ES{]} + {[}ES{]} (k_{-1} + k_2) \\ {[}S{]}{[}E{]}_0 &= {[}S{]}{[}ES{]} + {[}ES{]} \underbrace{\frac{(k_{-1} + k_2) }{k_{1}}}_{K_M}\\ {[}S{]}{[}E{]}_0 &= ( K_M + {[}S{]}) {[}ES{]}\\ {[}ES{]} &= \frac{{[}S{]}{[}E{]}_0}{K_M + {[}S{]}} \\ \\ \frac{d{[}P{]}}{dt} &= v_0 = k_2 {[}ES{]} = \underbrace {k_2 {[}E{]}_0}_{v_\max}\frac{{[}S{]}}{K_M + {[}S{]}}\\ v_0 &= \frac{ v_\max {[}S{]}}{K_M + {[}S{]}} \; \; \; \; \; \qquad \qquad (4) \\ \\ \frac{1}{v_0} &= \frac{K_M}{v_\max} \cdot \frac{1}{{[}S{]}} + \frac{ 1 }{v_\max } \qquad (5) \end{align}$

Ponieważ stężenie substratu w trakcie przebiegu reakcji ulega zmianie, początkowa prędkość reakcji v0 została użyta dla uproszczenia obliczeń, dając początkowe stężenie substratu [S]. Równanie szybkości reakcji (4) może być również zapisane w równaniu (5) które wykorzystuje ujemne v0 i [S]. To znacznie ułatwia ustalenie stałych z obliczanych danych (proces, w wyniku którego można narysować wykres Lineweavera–Burka czy wykres Hanesa–Woolfa).

Krzywa zawartości enzymu w roztworze przedstawiająca związek pomiędzy stężeniem substratu i szybkości reakcji.

Równanie (4) daje wynik tak zwanej krzywej nasycenia roztworu (wykres po prawej stronie). Graficznie i matematycznie można wyróżnić kilka interesujących sytuacji:

Gdy stężenie substratu $[S]$ jest duże w porównaniu do $K_M$ wtedy otrzymujemy $[S] / (K_M + [S]) \approx 1$ . Zatem szybkość tworzenia produktu opisana jest równaniem

$\frac{d{[}P{]}}{dt} \approx v_\max = k_2 [E]_0$ W ten sposób szybkość tworzenia produktu zależy wyłącznie od stężenia enzymu, a równanie przypomina reakcję jednocząsteczkową z odpowiadającą stałą k2 dla pseudo-pierwszorzędowej reakcji. Zatem nie ważne jest jak często enzym i substrat ulegają zbliżeniu ale jak szybko kompleks [ES] przekształca swój związany substrat w produkt.

Gdy stężenie substratu $[S] = K_M$ wtedy $[S] / (K_M + [S]) = [S] / (2[S]) = \frac{1}{2}$ . Dlatego szybkość tworzenia produktu opisana jest równaniem

$\frac{d{[}P{]}}{dt} = 0.5 \cdot v_\max = 0.5 \cdot k_2 [E]_0$

Gdy stężenie substratu $[S]$ jest małe w porównaniu do $K_M$ wtedy mamy równanie $[S] / (K_M + [S]) \approx [S] / K_M$ i również powstaje niewielka ilość kompleksu ES, więc $[E]_0 \approx [E]$ . Dlatego szybkość tworzenia produktu opisana jest wzorem:

$\frac{d{[}P{]}}{dt} \approx v_\max \cdot [S] / K_M \approx \frac{k_2}{K_M} [E] [S]$ Zatem szybkość tworzenia produktu zależy od stężenia enzymu jak również od stężenia substratu. Natomiast równanie przypomina reakcję dwucząsteczkową z odpowiednią stałą k2/KM szybkości pseudo-drugorzędowej reakcji. Ta stała jest miarą wydajności reakcji, tzn. jak wydajnie enzym przetwarza substrat w produkt. Najbardziej wydajne enzymy osiągają k2/KM w zakresie od 10 – 10 M s który jest też zakresem dyfuzji. Takie enzymy są tak efektywne, że pozwalają na wydajne katalizowanie reakcji za każdym razem, gdy tylko napotkają cząsteczkę substratu. Można więc uznać, że takie enzymy osiągają górny teoretyczny limit wydajności. Takie enzymy często nazywa się "idealnymi enzymami".