Stan kwantowy - Polski Serwis Naukowy

Stan kwantowy — informacja o układzie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów, jakie można na tym układzie wykonać. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

Wiedza historyczna

Poniżej można znaleźć to, co można było wiedzieć na temat stanów kwantowych w 1926 roku, kiedy np. jeszcze nie wiedziano że mechanika falowa i mechanika macierzowa to dwie równoważne postacie mechaniki kwantowej. Bardziej ogólne i współczesne podejście można znaleźć pod hasłami stan czysty i stan mieszany.

Funkcja falowa to w mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. położenia, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość funkcji falowej dla danych parametrów nazywa się amplitudą prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja matematyczna wymaga odniesienia się do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Emisja promieniowania to wysyłanie przez wzbudzony układ fizyczny (np. atom, jądro atomowe, ciało makroskopowe) energii w postaci promieniowania zarówno fal (np. światła, fal radiowych, dźwięku), jak i korpuskularnego (np. elektronów, cząstek α).

W przypadku równania Schrödingera stan kwantowy oznacza jedną z możliwych funkcji falowych opisujących obiekt kwantowy. Natomiast w mechanice macierzowej Heisenberga jest to nieskończony wektor. Dla danego stanu kwantowego opisującego położenie cząstki w przestrzeni można podać funkcję rozkładu prawdopodobieństwa, opisującą szansę spotkania obiektu kwantowego w danym obszarze przestrzeni.

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Pojęcie liczby kwantowej pojawiło się w fizyce wraz z odkryciem mechaniki kwantowej. Okazało się, że właściwie wszystkie wielkości fizyczne mierzone w mikroświecie atomów i cząsteczek podlegają zjawisku kwantowania, tzn. mogą przyjmować tylko pewne ściśle określone wartości. Na przykład elektrony w atomie znajdują się na ściśle określonych orbitach i mogą znajdować się tylko tam, z dokładnością określoną przez zasadę nieoznaczoności. Z drugiej strony każdej orbicie odpowiada pewna energia. Bliższe badania pokazały, że w podobny sposób zachowują się także inne wielkości np. pęd, moment pędu czy moment magnetyczny (kwantowaniu podlega tu nie tylko wartość, ale i położenie wektora w przestrzeni albo jego rzutu na wybraną oś). Wobec takiego stanu rzeczy naturalnym pomysłem było po prostu ponumerowanie wszystkich możliwych wartości np. energii czy momentu pędu. Te numery to właśnie liczby kwantowe.

Rozkłady prawdopodobieństwa związane z kilkoma stanami atomu wodoru.

Pojęcie stanu kwantowego po raz pierwszy wprowadzono, aby opisać zachowanie elektronów poruszających się wokół jądra atomu. W ujęciu mechaniki klasycznej i elektrodynamiki elektrony muszą spaść na jądro atomowe. Jednak atomy są trwałe. Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy elektron musi znajdować się w innym stanie kwantowym. Jego stan na powłokach elektronowych (orbitalach) opisują liczby kwantowe: główna liczba kwantowa $n$ , azymutalna liczba kwantowa $l$ (związana z wartością własną kwadratu operatora momentu pędu $L^2$ ), magnetyczna liczba kwantowa $m$ (związana z rzutem operatora momentu pędu na oś z, ( $L_3$ )) i rzut spinu na oś z oznaczany jako s. Stan kwantowy $|n,l,m,s\rangle$ realizowany jest więc jako funkcja falowa $\psi_{n,l,m,s}$ . Dla nierelatywistycznego atomu wodoru poziomy energetyczne związanego elektronu zależą tylko od głównej liczby kwantowej $n$ :

Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym, częstotliwość drgań, napięcia, fali.

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

$E_{n}=-\frac{R}{n^2}.$

Elektrony o różnych pobocznych liczbach kwantowych $(l,m,s)$ mają tę samą energię - ten fakt nazywany degeneracją widma. Elektrony mogą przechodzić tylko pomiędzy poszczególnymi stanami kwantowymi, emitując lub pochłaniając kwanty światła. Zgodnie z teorią fotonową odpowiada to odpowiedniej częstotliwości fali. Widocznym efektem tego zjawiska są linie widmowe pierwiastków. Każdy atom danego pierwiastka pochłania lub emituje fale o określonych częstotliwościach, co pozwala na jego rozpoznanie na podstawie przepuszczonego lub wyemitowanego przez niego światła. Dzięki takiej własności materii możliwe jest dokładne określenie składu chemicznego świecącego obiektu, np odległej gwiazdy czy planety.

Orbital – powierzchnia opisana funkcją falową, będącą rozwiązaniem równania Schrödingera dla szczególnego przypadku układu jednego elektronu znajdującego się na jednej z powłok atomowych lub tworzących wiązanie chemiczne.

Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Stan czysty i mieszany

Stan kwantowy (stan czysty) reprezentowany jest przez wektor z abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta $|\psi\rangle$ . W mechanice falowej Schrödingera jest to przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem - $L^2$ a mechanice macierzowej Heisenberga przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem - $l^2$ . Bardziej ogólnie, stan kwantowy reprezentowany jest przez operator samosprzężony $\rho$ spełniający warunek

Abstrakcja - sposób rozumowania leżący u podstaw matematyki, polegający na odrzuceniu części cech przedmiotów fizycznych w celu wyeksponowania cech pożądanych. Wszystkie obiekty matematyczne powstały na tej drodze. Utworzone w ten sposób obiekty są obiektami idealnymi, a nie realnymi.

Reguła Pauliego, zwana też zakazem Pauliego, została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1925 dla wyjaśnienia zachowania się fermionów, czyli cząstek o spinie połówkowym. Reguła Pauliego jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia o związku spinu ze statystyką.

$Tr(\rho)=1.$

Tr(A) oznacza ślad operatora A: $Tr(A)=\sum_{\psi}\langle\psi |A| \psi\rangle,$

gdzie sumowanie odbywa się po ortonormalnej bazie przestrzeni Hilberta.

W mechanice kwantowej wielkości fizyczne reprezentowane są przez operatory samosprzężone A ( $A=A^{\dagger}$ ). Nazywamy je obserwablami. Wynik pomiaru wielkości fizycznej A zależy od stanu kwantowego w jakim znajduje się układ fizyczny i dany jest w przypadku stanów czystych przez $\langle A\rangle=Tr(\rho A).$

Mamy do czynienia ze stanem czystym, gdy operator gęstości $\rho$ można przedstawić jako pewien operator rzutowy

Informacja (łac. informatio – przedstawienie, wizerunek; informare – kształtować, przedstawiać) - termin interdyscyplinarny, definiowany różnie w różnych dziedzinach nauki; najogólniej - właściwość pewnych obiektów, relacja między elementami zbiorów pewnych obiektów, której istotą jest zmniejszanie niepewności (nieokreśloności).

Materia – w potocznym rozumieniu ogół obiektywnie istniejących przedmiotów fizycznych poznawalnych zmysłami. W fizyce termin "materia" stosowany jest w kilku różnych, opisanych w artykule znaczeniach.

$\rho = P_\psi=|\psi\rangle \langle\psi|,$

wtedy wynik pomiaru to $\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.$

Gdy jeszcze stan $\psi$ jest stanem własnym operatora A do wartości własnej $a_{\psi}$ to wynikiem pomiaru jest wartość własna operatora A $\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle=a_{\psi}.$

W mechanice falowej Schrödingera stan czysty $|\psi\rangle$ reprezentowany jest przez funkcje falową $\psi(\vec{x},t)$ a wynik pomiaru wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator A to $\langle A\rangle=\int d^{3}x \psi^{*}(\vec{x},t)A \psi(\vec{x},t).$

Jeżeli operator ρ nie może być przedstawiony jako pewien operator rzutowy, to taki stan nazywamy stanem mieszanym. Możemy go wtedy przedstawić jako kombinację

Planeta – według definicji Międzynarodowej Unii Astronomicznej, to obiekt astronomiczny okrążający gwiazdę lub pozostałości gwiezdne, nieprzeprowadzający reakcji termojądrowej w swoim wnętrzu, wystarczająco duży, aby uzyskać prawie okrągły kształt oraz osiągnąć dominację w przestrzeni wokół swojej orbity. W odróżnieniu od gwiazd, świecących światłem własnym, planety świecą światłem odbitym[1].

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.

$\rho=\sum_{\psi} w_{\psi} |\psi\rangle \langle \psi |,$

z dodatkowym warunkiem $\sum_{\psi} w_{\psi}=1.$

Stany mieszane opisują sytuacje, w których nie mamy pełnej wiedzy o układzie kwantowym.. Liczby $w_{\psi}$ można interpretować jako prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie $\psi$ .

Zobacz też

układ kwantowy

fale materii

konfiguracja elektronowa

macierz gęstości