Statystyka Fermiego-Diraca - Polski Serwis Naukowy

Oś pozioma: ${E}/{\mu}$ . Oś pionowa: $<n>$ . Dla ${E} = {\mu}$ zachodzi $<n>=0,5$ .

Porównanie statystyk kwantowych.

Statystyka Fermiego-Diraca – statystyka dotycząca fermionów, cząstek o spinie połówkowym, które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie kwantowym nie może znajdować się więcej niż jeden fermion. Statystyka Fermiego-Diraca oparta jest również na założeniu nierozróżnialności cząstek.

Spin jest to własny moment pędu cząstki w układzie w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Spin jest pojęciem czysto kwantowym. W mechanice klasycznej, gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka jest bezmasowa (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Matematycznie spin jest wielkością tensorową wynikającą z teorii kwantowej. Dokładnie jest to własność związana z tensorowym charakterem funkcji falowej, opisującej daną cząstkę, względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów może być uważana za wektor, funkcja falowa hipotetycznych grawitonów miałaby być tensorem 2. rzędu, zaś funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie 1/2.

Statystyka Bosego-Einsteina – statystyka dotycząca bozonów traktowanych jako gaz bozonowy, cząstek o spinie całkowitym, których nie obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z rozkładem Bosego-Einsteina średnia ilość cząstek w danym stanie kwantowym jest równa

Zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca średnia liczba cząstek w niezdegenerowanym stanie energetycznym E dana jest przez $<n>=\frac{1}{e^{\beta (E-\mu)}+1}$

gdzie: $E$ – energia tego stanu, $\mu$ – potencjał chemiczny, będący funkcją temperatury (!) $\beta = 1/(k_BT)$ , gdzie $k_B$ – stała Boltzmanna a T – temperatura w skali Kelvina.

Rozkład Fermiego-Diraca – elektrony

Rozkład Fermiego-Diraca może opisywać sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym (np. w gazie elektronowym, w atomie).

Reguła Pauliego, zwana też zakazem Pauliego, została zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1925 dla wyjaśnienia zachowania się fermionów, czyli cząstek o spinie połówkowym. Reguła Pauliego jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia o związku spinu ze statystyką.

Degeneracja (zwyrodnienie) - w fizyce kwantowej zwykle mianem degeneracji określa się sytuację, kiedy jednej wartości energii układu odpowiada wiele stanów kwantowych układu. Zmieniając warunki fizyczne, np. umieszczając go w polu magnetycznym, energie różnych stanów kwantowych mogą zmienić się w różnym stopniu, rozdzielając jeden poziom energetyczny na kilka.

Zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może się znajdować co najwyżej jeden elektron, a każdy poziom energetyczny może być obsadzony przez co najwyżej dwa elektrony o przeciwnych spinach.

Prawdopodobieństwo P obsadzenia k-tego stanu, czyli stanu o energii $E_k$ , jest tym mniejsze, im większa jest ta energia. Przy zmniejszaniu $E_k$ prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie k wzrasta, nie może jednak przekroczyć jedności. Zależność tę wyraża dokładnie funkcja rozkładu Fermiego-Diraca :

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Poziom energetyczny - wartość energii stanu dostępnego dla cząstki. Poziom fermionu może być zdegenerowany, jeśli dana wartość energii cechuje więcej niż jeden stan.

$P(E_k)=\frac{1}{e^{\beta (E_k-\mu)}+1}$ .

Dla temperatury T = 0 K zachodzi $\mu = \mu (0) = E_{F}$ , gdzie $E_{F}$ jest energią Fermiego. Jest to energia najwyżej obsadzonego stanu ( $k_F$ – poziom Fermiego) w temperaturze 0 Kelwinów. W tej temperaturze obsadzone są wszystkie stany k takie i tylko takie, że $k \le k_F$ . Wtedy też każdy taki stan k obsadzony jest przez dwa elektrony o przeciwnych spinach (przy założeniu, że całkowita liczba elektronów jest parzysta).

Stan kwantowy — informacja o układzie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów jakie można na tym układzie wykonać. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

Potencjał chemiczny – pochodna cząstkowa energii wewnętrznej po liczbie cząstek, przy stałej objętości i entropii układu. Oznaczany jest przez μ lub μi. Może być również definiowany jako pochodna cząstkowa innej funkcji stanu: entalpii, energii swobodnej czy entalpii swobodnej po liczbie cząstek, przy czym pochodna jest obliczona przy zachowanych innych parametrach: ciśnieniu czy też temperaturze. Pojęcie to wprowadził do nauki w 1875 r J.W. Gibbs. Odgrywa ono zasadniczą rolę w termodynamice chemicznej. Jest podstawą do definicji aktywności termodynamicznej, występuje w kryteriach równowagi procesów oraz stosowane jest do opisu układów złożonych i do wyprowadzenia stałych równowagi fazowej i chemicznej.

Dla każdej wartości T zachodzi $P(E_k)=0,5$ , gdy $E_k = \mu$ .

Dla takich energii, że $E_k - \mu \gg k_B T$ rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmanna: $P(E_k) \approx \frac{1}{e^{\beta (E_k-\mu)}} = e^{- \beta (E_k-\mu)}$ .

Zobacz też

gaz Fermiego

statystyka Bosego-Einsteina

bozony