Stożek - geometria - Polski Serwis Naukowy

Stożek – przypadek najogólniejszy

Rodzaje stożków

Stożek prosty

schemat stożka prostego

Stożek (dawniej konus) – bryła ograniczona przez powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Może mieć ona kształt dowolnej figury płaskiej. Kierującą powierzchni stożkowej może być obwód podstawy. Wysokością stożka nazywamy odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy.

Walec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to walec prosty.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Objętość stożka wynosi $V=\frac {1}{3} Sh$

gdzie $S\,$ – pole powierzchni podstawy stożka, $h\,$ – wysokość stożka.

Stożek obrotowy

Stożek obrotowy prosty to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l).

Wielościan - bryła geometryczna, ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów.

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

Stożek w kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności: $\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .$ gdzie $r>0,\ h>0$

Długość tworzącej stożka

Długość tworzącej wynika z twierdzenia Pitagorasa $l=\sqrt{h^2+r^2}$

Pole powierzchni bocznej stożka

$\mathcal{P}_b=\pi r l$

Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu $R=l\;$ takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka $L=2\pi r\;$

Wycinek kołowy o promieniu $R\;$ i długości łuku $L\;$ ma pole powierzchni:

Krzywa stożkowa – zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y.

Powierzchnia stożkowa - powierzchnia powstała przez połączenie prostymi (tzw. tworzące) zadanego punktu w przestrzeni (tzw. wierzchołek) z każdym punktem na pewnej zadanej krzywej, zwanej kierującą.

$\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR$

Stąd $\mathcal{P}_b=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi rl=\pi rl$

Pole powierzchni całkowitej stożka

$\mathcal{P}_c = \mathcal{P}_p + \mathcal{P}_b$

Objętość stożka

$V={1 \over 3}\mathcal{P}_p h$

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, $\mathcal{P}_p$ jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.

Kąt rozwarcia stożka

Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka. $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{h}$

Objętość kuli opisanej na stożku

$V_k={1 \over 6} \pi \frac{l^6}{ (l^2-r^2) \sqrt{l^2-r^2}}$

gdzie $l$ - tworząca, $r$ - promień podstawy stożka

Zobacz też

krzywe stożkowe

ostrosłup

powierzchnia stożkowa

Przypisy

w szczególności dla całego koła byłoby $L=2\pi R\;$ i $\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi R^2=\pi R^2$

Bibliografia

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1997, wyd. XIV, s. 226, ISBN 83-01-11658-7